Jaime Iranzo, Javier M. Buldú y Jacobo Aguirre
Nature Communications 7, Número del artículo: 13273 (2016)
Doi: 10.1038/ncomms13273
Resumen
Las conexiones no previsibles entre sistemas de red reales han llamado recientemente a un examen de fenómenos de percolación, difusión o sincronización en redes multicapa. Aquí utilizamos la teoría de redes y la teoría de juegos para explorar las interacciones en redes de redes y modelarlas como un juego para ganar importancia. Proponemos un punto de vista donde las redes eligen las estrategias de conexión, en contraste con los enfoques clásicos donde los nodos son los jugadores activos. Específicamente, investigamos cómo la creación de caminos entre redes conduce a diferentes equilibrios de Nash que determinan sus propiedades estructurales y dinámicas. En una amplia variedad de casos, la selección de conexiones adecuadas conduce a una solución cooperativa que permite a las redes débiles superar al oponente más fuerte. De manera contraria, cada red débil puede inducir una transición global a dicha configuración cooperativa independientemente de las acciones de la red más fuerte. Este poder de los débiles revela un dominio crítico de los marginados en el destino de las redes de redes.
Introducción
Los sistemas sociales, biológicos, físicos y tecnológicos están compuestos por una diversidad de agentes interactivos, lo que hace que la ciencia de la red, una comprensión de la física estadística de la teoría gráfica, sea una auténtica herramienta para investigar su estructura y dinámica1,2,3. En el marco de las redes sociales4, se ha demostrado que la topología de las interacciones entre individuos es crucial, por ejemplo, en la desaparición del umbral crítico en las epidemias5,6 o en la propagación eficiente y rápida de la innovación7. De manera similar, la topología de una red misma puede ser influenciada por los procesos dinámicos que ocurren en ella, dando lugar a mecanismos adaptativos que rigen la evolución de la estructura de las redes sociales8.El surgimiento de la cooperación, defección o altruismo puede ser investigado vinculando la teoría de los juegos a la ciencia de la red9,10,11,12. De este modo, la heterogeneidad intrínseca de las redes sociales, la mayoría de las cuales muestran distribuciones de poder-ley en el número de conexiones1, se ha relacionado en muchos casos con el surgimiento de la cooperación, contrariamente a lo que se observa en poblaciones homogéneas13. Además, también se ha demostrado que los individuos altamente conectados son más propensos a colaborar que los pocos conectados14. Bajo este marco, la comprensión de los juegos evolutivos se benefició en gran medida de las herramientas metodológicas de la ciencia en red11. Aunque la atención se centró inicialmente en la interacción entre las estrategias de los nodos y la estructura de la red (única) subyacente15, más recientemente, las reglas coevolutivas también se han relacionado con la aparición de estructuras de interdependencia16 y de múltiples capas17. Sin embargo, ¿qué pasa si nos preocupan los intereses de una red en su conjunto en lugar de sus nodos? ¿Tiene sentido considerar las redes que compiten o colaboran con otras redes? La fructífera literatura reciente sobre redes de redes, o en un contexto más general sobre redes multicapa, hace que estas dos preguntas sean oportunas y de gran relevancia18,19. Una diversidad de procesos dinámicos como la percolación20, la difusión21 o la sincronización22 han sido reinterpretados recientemente suponiendo que las redes reales interactúan inevitablemente con otras redes, un contacto que puede ser beneficioso o perjudicial para cada una de las redes que pertenecen al conjunto23.
Aquí investigamos cómo m> 2 redes compiten o cooperan para lograr un aumento relativo de importancia medido como centralidad de vectores propios, que maximiza su resultado en una variedad de procesos dinámicos. En nuestra competencia, las redes pueden variar la forma en que interactúan con otras redes, evolucionando en el tiempo hasta alcanzar una situación estable en la que todas las redes se niegan a modificar su estrategia, ya que cualquier cambio conduciría a un peor resultado. Es importante destacar que una estrategia de conexión óptima a priori para una red dada puede no ser alcanzable debido a las acciones de las redes competidoras, lo que convierte el análisis del resultado final de las redes en un estudio de los equilibrios de Nash24 en una red de redes. Con este objetivo definimos una metodología para analizar la competencia entre redes de cualquier tamaño o topología, demostrando que pueden coexistir varios equilibrios de Nash, con algunos de ellos beneficiando a las redes más fuertes y otros beneficiando a los más débiles.
En particular, se informa de la existencia de un amplio régimen de los parámetros del sistema en el que cada red débil puede inducir al resto a cooperar, a escapar de un equilibrio de Nash perjudicial, asumiendo la situación final de toda la red de redes. Paradójicamente, la red fuerte no puede revertir este fenómeno. Esta asimetría contra-intuitiva que promueve la cooperación entre redes débiles es independiente de la estructura de la red o de las reglas de la competencia y podría aplicarse a un extenso número de sistemas reales.
Resultados
Definición de las reglas de la competencia
Como regla general, consideramos que los nodos pertenecientes a una red aceptarán una estrategia común, que puede justificarse en términos de un beneficio común o la existencia de una imposición dentro de una organización jerárquica (véase la Nota Suplementaria 1 para más detalles). El siguiente ejemplo, basado en redes reales, ilustra cómo diferentes estrategias pueden mejorar el resultado de una red. La interacción entre los miembros de las comunidades rurales del sur de la India se investigó recientemente mediante una serie de encuestas en el marco de un programa de microfinanzas25,26. A partir de esos conjuntos de datos (disponibles en la versión en línea de la referencia 25), construimos las redes de préstamos dentro de tres de esos pueblos (véase la figura 1a), creando un vínculo entre los individuos i y j si estaban dispuestos a prestar o pedir prestado Unos de otros una cierta cantidad de dinero. Las redes de préstamos locales construidas como se explicó anteriormente proporcionan mucha información sobre la capacidad de recuperación financiera de una región. Si las autoridades locales de una aldea promovían las conexiones con otras regiones -por ejemplo, mediante la financiación de eventos sociales- se mejoraría su red de préstamos y la aldea estaría más preparada para hacer frente a riesgos naturales o financieros inesperados (véanse las refs 27, 28 , 29, 30, 31 y Nota complementaria 1). Sin embargo, ¿qué aldea es la mejor para conectarse si existe más de una opción? Además, lo que es más importante, ¿qué aldea se beneficiaría más de la creación de nuevos canales financieros entre ellos?Figura 1: Competencia por la centralidad de las redes de préstamos.
Las aldeas A (verde), B (azul) y C (rojo) se nombran de acuerdo con el valor propio más grande de sus redes de préstamos, de manera que λA> λB> ΛC (véase la Nota Suplementaria 1 para detalles sobre la construcción de las redes). La creación de conexiones entre aldeas conduciría a una red de redes T, cuya centralidad se distribuye entre las aldeas. En b, c, mostramos la centralidad retenida en cada aldea (red) dependiendo de las diferentes estrategias de conexión. El radio de cada círculo es proporcional a la centralidad acumulada por cada red. Las resistencias de las redes son λA = 4,27, λB = 4,05 y λC = 3,38. Cuando se permite una conexión entre aldeas (l = 1), coexisten dos Equilibrios de Nash: en b, las redes B y C se conectan a A (CA = 0,55, CB = 0,35 y CC = 0,10), pero su mejor estrategia se muestra en c , Es decir, crear enlaces entre ellos, obligando a la red A a unirse a ellos (CA = 0,32, CB = 0,49 y CC = 0,19). En resumen, el resultado final del concurso depende en gran medida de la solución alcanzada.
Para abordar estas preguntas en un marco general consideramos m redes de nodos Ni respectivamente, donde i = A, B, C, ... Las matrices de adyacencia Gi asociadas a cada red i contienen la información completa sobre las conexiones entre sus nodos Es, la topología específica de las redes). El mayor autovalor λi de Gi es un indicador de la intensidad de la red, como se explica en la referencia. 32; Por lo tanto, podemos ordenarlos de manera que λA> λB≥ ... ≥λm. Hacemos uso de la centralidad del vector propio para determinar la importancia adquirida por cada nodo, que se obtiene directamente del vector propio u1 asociado al valor propio más alto λ1 de la matriz de adyacencia (ver referencia 3, Métodos y Nota complementaria 2).
En nuestro juego, cada competidor (es decir, la red) hace uso de hasta l enlaces no dirigidos para conectarse con cualquiera de las otras redes. Los nodos conector son aquellos con la centralidad más grande (ver Métodos). La negativa a conectarse es una estrategia aceptada. Por lo tanto, hay
estrategias por competidor y (Sm,l)m posibles combinaciones de acciones. El objetivo de cada competidor es maximizar su propia centralidad del autovector, calculada como la importancia total (o centralidad) Ci acumulada por todos sus nodos
Donde j son los nodos que pertenecen a la red i y uT es el autovector asociado con el valor propio más grande λT de la matriz de adyacencia de la red de redes T, que contiene todos los nodos NT=∑i Ni.. Es de notar que nos enfrentamos a un juego de suma cero (Σi Ci = 1) y el sistema conectado T consta de m redes interconectadas a través de un máximo de m × l enlaces conector. Además, dichos enlaces conectores influirán en Ci de cada red, pero no en su fuerza λi, que se mide cuando la red i está aislada del resto y es independiente de la competencia.
Como suponemos que las redes son capaces de modificar sus enlaces conector con el objetivo de adquirir la mayor centralidad posible Ci dentro de la red de redes T, la configuración final del sistema viene dada por un equilibrio de Nash. Un equilibrio de Nash es la solución de un juego no cooperativo en el que participan dos o más jugadores, en el que se supone que cada competidor conoce las estrategias de equilibrio de los otros jugadores y ningún competidor tiene nada que ganar cambiando únicamente su propia estrategia24,33. Desde esta perspectiva general, independientemente de las reglas particulares del concurso, el proceso de competencia termina cuando se alcanza un equilibrio de Nash, siendo Ci el pago final de cada red competidora.
La Figura 1b, c muestra la competencia por la centralidad en nuestra "historia de tres aldeas". Calculamos el autovalor más grande asociado con las redes de préstamos dentro de cada aldea y obtenemos el ranking en la fuerza: λA> λB> λC. La terminología utilizada para indicar cómo una red (es decir, una aldea) i1 decide conectarse a una red i2 es la siguiente: i1 (0) significa red i1 que se niega a conectar, i1→i2 significa i1 conectando a la red i2 y i1↔i2 significa i1 conectando a la red i2 y i2 conectando a la red i1. La flecha → indica qué red decide crear el enlace del conector, pero todos los enlaces no están dirigidos (es decir, bidireccionales).
Al permitir que las aldeas se conecten a través de un enlace (l = 1), obtenemos dos posibles equilibrios de Nash. En uno de ellos, las aldeas débiles establecen conexiones con la aldea fuerte, {A (0), B → A, C → A}, que beneficia claramente a esta última (Fig. 1b). Sin embargo, el equilibrio alternativo {A → B, B↔C} permite a las aldeas débiles superar a su competidor más fuerte conectándose entre sí. En este escenario, la red fuerte debe conectarse a B para retener parte de la centralidad de todo el sistema (figura 1c).
Es importante destacar que la selección de estrategias de conexión adecuadas va más allá de la competencia por la centralidad. En las redes profesionales, por ejemplo, el crecimiento del conocimiento de un individuo puede ser modelado para ser proporcional al conocimiento de sus conocidos34, lo que conduce a una distribución final del conocimiento que es dada por el primer autovector uT de la matriz de adyacencia. Se ha traducido a un caso en el que grupos independientes de profesionales o investigadores pueden crear conexiones entre ellos, esto indicaría que la estrategia mostrada en la Fig. 1c mejoraría no sólo la importancia de un grupo de profesionales, sino la cantidad relativa de conocimientos adquiridos por el grupo más débil en comparación con el más fuerte (véase la nota complementaria 1 para varios ejemplos del mundo real que tratan de redes sociales, tecnológicas y biológicas). Además, una amplia variedad de sistemas se describen mediante matrices de adyacencia ponderada-matrices de transición que incluyen las especificidades del proceso dinámico subyacente-cuyo vector uT está relacionado con el estado de equilibrio del sistema32. La dinámica evolutiva de la replicación-mutación35, los procesos de difusión21 o la propagación de la enfermedad36 son sólo algunos ejemplos donde la metodología aquí presentada puede aplicarse sin pérdida de generalidad (ver Métodos).
Competencia y cooperación para superar las más fuertes
La figura 2 muestra una descripción numérica completa de la competencia entre m = 3 redes genéricas libres de escala A, B y C de los valores propios más grandes λA>λB>λC. Por razones de claridad, sólo se permite un enlace de conector por red (l = 1) y, por lo tanto, cada competidor tiene m diferentes estrategias de conexión (es decir, conectarse a cualquiera de las otras redes m-1 o negarse a conectarse). En el caso de tres redes, son posibles 27 combinaciones de estrategias para cada realización - elección de redes - entre las que sólo se toman como soluciones al concurso las que verifican las condiciones para ser equilibrios de Nash. La figura 1b, c muestra que más de una solución final puede coexistir, lo que plantea dos preguntas relevantes: (i) ¿es la coexistencia de soluciones un fenómeno general? Y si este es el caso, (ii) ¿el resultado final de cada jugador varía sustancialmente dependiendo de la solución alcanzada?Figura 2: Competencia por la centralidad entre 3 redes.
Cada competidor utiliza tanto como l = 1 enlace para conectarse con el resto de las redes. Modificamos el tamaño y / o el grado medio de la red A (es decir, el competidor más fuerte) para incrementar su resistencia de λA = λB a λA»λB↔C, donde B↔C es la red resultante de conectar B y C A través de un enlace doble. El eje x se ha reescalado para permitir comparaciones entre diferentes realizaciones. Para cada elección de B y C, el sistema se resuelve para 20 series de A y los resultados son un promedio de más de 500 conjuntos de A, B y C. (a) Número de equilibrios de Nash coexistentes por realización. El radio de cada círculo es proporcional a la fracción de realizaciones (no se encontraron casos con más de dos soluciones coexistentes). (B) Presencia relativa de diferentes configuraciones en el conjunto de soluciones, promediada en todas las realizaciones: (i) Equilibrio X0 = {A → B, B↔C} (amarillo), (ii) equilibrio X∞ = {A (0) , B → A, C → A} (azul) y (iii) otros equilibrios (gris). En algunas realizaciones excepcionales, A → B es sustituido por A → C en X0. C) Centralidad de las redes A (círculo), B (diamante) y C (triángulo) para una elección particular de B y C (λB = 5,25 y λC = 5,2). Los resultados se muestran para las soluciones X0 y X∞ (código de color como en b). (D) Variabilidad de centralidad relativa ΔC entre diferentes equilibrios de Nash. Los puntos de datos (barras de error) corresponden a promedios (s.d.) sobre todas las realizaciones cuyo λA se encuentra en el correspondiente intervalo del eje X. Símbolos de red como en c.
La Figura 2a, b pregunta de dirección (i) y muestran los perfiles de solución a medida que aumenta la resistencia de la red A (es decir, λA). La figura 2a muestra un escenario que consideramos general: la coexistencia de equilibrios de Nash, entre los cuales dos de ellos, llamados X0 y X∞, son especialmente relevantes (véase la figura 2b):
Por otro lado, la Fig. 2c muestra la centralidad de los dos equilibrios de Nash existentes a medida que aumenta la fuerza de A para una elección particular de B y C. Para una amplia gama de valores de A, las centralidades alcanzadas por cada jugador dependen fuertemente de la solución específica del concurso , Que responde a la pregunta (ii) y subraya la importancia de elegir una estrategia de conexión adecuada.
Para comprobar la relevancia de este resultado, en la Fig. 2d se muestra la variabilidad de centralidad relativa (ΔC), una medida de cuánto mejora el resultado de un jugador al llegar a su solución óptima:
Donde los máximos y mínimos se calculan entre todos los equilibrios de Nash coexistentes. El ΔCi de cada jugador i toma valores que van desde cero (si todas las soluciones conducen a la misma centralidad) hasta el infinito (si la solución del peor caso conduce a la centralidad cero para ese jugador). Las tres redes muestran valores del orden de ΔC ~ 0,8, lo que significa que la centralidad final de cada red competidora puede variar hasta casi dos veces dependiendo de la solución alcanzada.
A la vista de todos, podemos identificar diferentes regímenes de competencia dependiendo de la fuerza relativa entre la fuerte red A y el resto de competidores. Para fuerzas muy grandes de A, es decir, cuando λA> λB↔C, el único equilibrio de Nash existente corresponde a X∞: las redes pequeñas evitan la cooperación mutua y tienden a conectarse a la más grande, que domina la contienda. Una transición crítica ocurre en λA = λB↔C por debajo de la cual X∞ y X0 coexisten de manera biestable. Curiosamente, dentro de esta región, la cooperación entre las redes débiles siempre conduce a su mejor resultado. Finalmente, una transición más suave ocurre alrededor de λA~λB↔C, siendo B↔C la red resultante de conectar B y C a través de un solo enlace: cuando la fuerza de A se aproxima a la de B, la cooperación mutua entre B y C se hace dominante y equilibrio X∞ ya no es posible. Al mismo tiempo, pueden aparecer otros equilibrios de Nash (región gris de la figura 2b). Véanse las notas complementarias 2 y 3 para un tratamiento analítico completo de este fenómeno.
Las redes débiles pueden inducir la migración entre equilibrios
Como se explicó, en un equilibrio de Nash cada competidor que puede cambiar la estrategia disminuiría su centralidad. Sin embargo, como hay equilibrios de Nash coexistentes, puede valer la pena asumir una pérdida temporal de centralidad si la situación final conduce a una mejora en el resultado. De esta manera, se estudia la migración potencial entre los equilibrios X0 y X∞ en el régimen en el que coexisten (λA <λB↔C). En la Fig. 3a muestran que la migración de X∞ a X0 puede ser provocada por la red más débil C individualmente, mientras que la Fig. 3b muestra que la red fuerte no puede activar el sistema para migrar de X0 a X∞. Como consecuencia, cuando múltiples redes compiten por la centralidad, una red débil por sí misma puede escapar de un equilibrio perjudicial y empujar a todo el sistema hacia un sistema mucho más beneficioso con el costo de un transitorio de un paso durante el cual se disminuye su centralidad. Por el contrario, esta estrategia de migración no es accesible a la red fuerte, dando lugar a una asimetría natural en el contexto de las redes de redes que beneficia el resultado final de las redes débiles y les proporciona una flexibilidad no permitida a los competidores más fuertes .Figura 3: Migración entre equilibrios de Nash.
En este ejemplo, las redes se generan con el modelo de Barabási-Albert (λA = 4.07, λB = 3.95 y λC = 3.63, dando λA <λB↔C = 4.21). Para seguir cómo las estrategias de conexión influyen en la distribución de la centralidad, el radio de cada círculo es proporcional a la centralidad acumulada por cada red. El equilibrio X∞ conduce a CA = 0,65, CB = 0,21 y CC = 0,14, mientras que X0 conduce a CA = 0,28, CB = 0,45 y CC = 0,27. (A) La red más débil C provoca la migración de X∞ a X0, para mejorar drásticamente su centralidad (el mismo razonamiento podría aplicarse a B). Paso 1: la red C se desconecta de la red fuerte A y se conecta a la red débil B. Paso 2: A no cambia sus conexiones porque cualquier variación sería perjudicial, pero B mejora su centralidad separándose de A y conectándose a C. Paso 3 : A se hace aislado y CA = 0 (porque λA <λB↔C). Está obligado a conectarse a B y el sistema alcanza el equilibrio de Nash X0. (B) La red fuerte A no puede provocar la migración del equilibrio X0 a X∞ y está obligada a permanecer en un estado final desventajoso. Si A se niega a conectarse a cualquier red débil (Paso b.1) o se conecta a C en su lugar (Paso b.2), B y C perderían centralidad si rompieran su conexión mutua y consecuentemente se negaran a cambiar sus conexiones. A se ve obligado a conectarse de nuevo a B retornando a la estrategia X0.
Consecuencias generales en la red de redes
El trabajo numérico extensivo produce que la fuerza λT de la red de redes T siguiente al equilibrio X0 es siempre mayor que la de la solución X∞ (es decir, λT (X0)> λT (X∞), véase la Nota Suplementaria 4) . Es importante destacar que un aumento de λT está relacionado con un crecimiento mejorado en el equilibrio para una amplia gama de procesos dinámicos35, una reducción de la fuerza crítica de acoplamiento para la aparición de sincronización (como ~1 / λT) 37 o la aparición de un componente gigante en Fenómenos de percolación38. Por lo tanto, la tendencia natural hacia la cooperación entre redes débiles presentada en este trabajo también mejora la eficiencia y el crecimiento de todo el sistema. Volviendo al ejemplo de las tres aldeas, el análisis de los equilibrios de Nash revela que el equilibrio X0 (Fig. 1c) conduce a un λT mayor que X∞ (Fig. 1b, es decir, λT(X0)=4.78>λT(X∞)=4.57, para l = 1). Al final, esta es una buena noticia para todos los pueblos, ya que un λT más alto realza la fuerza de todo el conjunto39. Cabe señalar que estos resultados pueden utilizarse no sólo para la descripción, sino más importante para la prescripción de cómo las redes pueden maximizar sus resultados al interactuar con otras redes y cómo la aparición de nuevas interacciones entre redes aisladas influye en las propiedades estructurales y dinámicas del real Sistemas.Por último, la migración entre los equilibrios descritos anteriormente podría tener una contraparte sugestiva en una amplia variedad de situaciones en las que una relación basada en la subyugación a un poderoso líder naturalmente emigró hacia un modelo nuevo y más productivo basado en la cooperación (véanse las referencias 40, 41 y Nota Complementaria 4 para un ejemplo histórico ilustrativo).
Discusión
En resumen, proponemos combinar la ciencia de redes y la teoría de juegos para analizar la elección de estrategias de interconexión en un juego de suma cero donde los jugadores no son agentes únicos sino redes. La creación de caminos entre las redes que interactúan conduce a diferentes equilibrios de Nash, algunos de los cuales benefician al competidor fuerte y algunos de ellos refuerzan a los menos favorecidos. Contrarrestantemente, mostramos que las transiciones entre los equilibrios de Nash coexistentes se restringen a los competidores más débiles, que en la práctica gobiernan el concurso, mientras que la red más fuerte es incapaz de cambiar el status quo en su propio interés.Es importante destacar que la mayoría de los supuestos de nuestro modelo pueden modificarse para describir escenarios más realistas sin causar cambios cualitativos (véase la Nota Complementaria 5 para más detalles). Cuando se permite a cada jugador conectarse al resto de redes a través de más de un enlace (es decir, l> 1), el número de combinaciones de estrategias crece como lm(m−1) para m fijo. Sin embargo, el número de soluciones coexistentes y la fenomenología observada son totalmente equivalentes a los obtenidos para l = 1. Lo mismo ocurre con las topologías de red aleatorias (Erdös-Rényi), las redes de cualquier tamaño y las redes con diferentes capacidades, es decir, cuando ciertas redes pueden conectarse a través de un mayor número de enlaces de conector (o incluso más enlaces ponderados) que los demás competidores.
Además, extender el análisis a equilibrios mixtos de Nash, donde se permite cualquier distribución no entera de los enlaces de conector, no altera los resultados y proporciona una naturaleza probabilística al juego que amplía su aplicabilidad. Cuando se consideran más de 3 redes en el concurso, surgen nuevos tipos de equilibrios de Nash, pero de nuevo observamos la existencia de regiones amplias del espacio de parámetros donde redes débiles gobiernan toda la red de redes. Además, se han analizado diferentes definiciones de las rentabilidades basadas en la centralidad -como la centralidad de la interconexidad o cercanía- y sólo aquellas estrechamente relacionadas con la centralidad de los vectores propios llevan a una fenomenología rica en el número de equilibrios de Nash y el efecto de tales equilibrios en la Ganancias de los competidores.
Por último, en algunas redes sociales y económicas, las estrategias de conexión pueden verse influidas por las motivaciones individuales de los nodos conector, lo que da lugar a un posible conflicto con los intereses colectivos. Como primer paso para entender estos complejos escenarios, introdujimos una recompensa después de la referencia. 42, que incluye contribuciones individuales y colectivas (véase la nota complementaria 6): concluimos que la cooperación entre las redes débiles y su control del juego es un resultado frecuente que puede aparecer a niveles relativamente pequeños (o incluso cero) de incentivos colectivos, Aunque los detalles cuantitativos dependen significativamente de la topología de las redes.
La robustez de la fenomenología aquí presentada, sumada a su potencial aplicabilidad a casos reales, hace que este "poder de los débiles" sea un hecho valioso a considerar en el futuro modelado de procesos tecnológicos, biológicos o sociológicos en redes.
Métodos
Medir la importancia de los nodos y las redes
Utilizamos la centralidad de vectores propios xk para cuantificar la importancia de un nodo k en una red, que se puede obtener como un proceso iterativo que suma las centralidades de todos los vecinos de k:
Donde λ es una constante, xk es la centralidad de vectores propios del nodo k y Gkj son los componentes de la matriz de adyacencia, que podría ser tanto binaria como ponderada43. En la ecuación matricial (5) se lee λx=Gx para que x pueda expresarse como una combinación lineal de los vectores propios uk de la matriz de adyacencia G, siendo λk el conjunto de los valores propios correspondientes. La ecuación (5) puede considerarse como un proceso iterativo que comienza en t = 0 con un conjunto de condiciones iniciales x0. Independientemente de los valores de x0, el valor de x (t) en t → ∞ será proporcional al vector propio u1 asociado con el autovalor λ1 más grande. Por lo tanto, la centralidad de vectores propios se obtiene directamente del vector propio u1 de la matriz de adyacencia G, que también se mantiene para matrices de adyacencia ponderada. Como se explica en el texto principal, la centralidad acumulada por cada red se obtiene como la fracción de centralidad acumulada por sus nodos. Por último, utilizamos λ1 como medida de la intensidad de la red, ya que está relacionada con una serie de propiedades dinámicas de las redes y, a su vez, aumenta con el número de nodos, enlaces y el grado medio de la red44.
Selección de los nodos de conectores específicos
Como se explica en la ref. 32, la centralidad de los nodos conectores que enlazan redes independientes puede ser crucial en la distribución final de la centralidad. Los nodos centrales (C) de una red son los nodos con mayor centralidad de vectores propios, mientras que los nodos periféricos (P) son los nodos con una centralidad muy baja (ver Nota Complementaria 2 para más detalles). Cuando se conectan dos redes, los nodos del conector permiten distinguir entre conexiones central-central (CC) o conexiones periféricas-periféricas (PP). Es importante destacar que cuando una red de redes se divide en componentes desconectados, el cluster con el autovalor más grande adquiere toda la centralidad, mientras que el resto de los componentes (débiles) acumulan centralidad cero. Las conexiones PP conducen a un escenario cercano al caso desconectado, empujando casi la totalidad de la centralidad hacia la red fuerte. En consecuencia, cualquier estrategia de conexión basada en enlaces PP es prácticamente equivalente a negarse a conectarse con cualquier otra red. Por esta razón, hemos restringido las estrategias de las redes a las conexiones CC o sin conexiones (negarse a conectarse).Por último, cabe señalar que las reglas de la competencia permiten a las redes conectarse a través de más de un enlace (por ejemplo, en A↔B). Por simplicidad, a lo largo de los ejemplos estudiados en este trabajo, representamos w enlaces conectores entre redes como un enlace de peso w. Sin embargo, en ciertos sistemas, los enlaces con un peso mayor que uno no podrían tener ningún significado real. En esos casos, el segundo (tercero, etc.) vínculo entre dos redes debe ser construido entre su segundo (tercero, etc) nodos más centrales, manteniendo la fenomenología cualitativamente sin cambios.
La matriz de adyacencia y los procesos dinámicos
Una variedad de procesos dinámicos que ocurren en una red puede ser descrita matemáticamente como n (t + 1) = Mn (t), donde n (t) es un vector cuyos componentes son el estado de cada nodo en el tiempo t (por ejemplo, el Población de individuos en cada nodo), y M, con Mij≥0, es una matriz que contiene las peculiaridades del proceso dinámico. Como M es una matriz primitiva, su valor propio más grande es positivo, verifica que λ1> | λi |, ∀ i> 1 y su vector propio asociado también es positivo. Por lo tanto, la dinámica de todo el sistema está dada por
De la ecuación (6) se obtiene que el sistema evoluciona hacia un estado asintótico independiente de la condición inicial y proporcional al primer vector propio u1:
Mientras que su valor propio asociado λ1 produce la tasa de crecimiento en el equilibrio asintótico. Si n (t) se normaliza de tal manera que | n (t) | = 1 después de cada iteración, n (t) → u1 cuando t → ∞ y existe una correspondencia entre la centralidad de vectores propios y el estado asintótico del sistema en equilibrio: Tanto la centralidad del vector propio como el estado asintótico del sistema son proporcionales al vector propio asociado con el autovalor más grande de la matriz de transición M.
Con respecto a la fenomenología presentada en este trabajo, en el caso de que estuviéramos preocupados por un proceso dinámico específico, reemplazaríamos la matriz de adyacencia G por la matriz de transición M, obteniendo la centralidad de vectores propios retenida por cada red sin pérdida de generalidad.
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