Modelado de dinámicas de enfermedades infecciosas

Modelado de dinámicas de enfermedades infecciosas

Sarah Cobey


Science  15 de mayo de 2020:
Vol. 368, número 6492, págs. 713-714
DOI: 10.1126/science.abb5659



La aparición del síndrome respiratorio agudo severo – coronavirus 2 (SARS-CoV-2) ha ofrecido al mundo un curso intensivo en epidemiología moderna, comenzando con lecciones sobre detección de casos y crecimiento exponencial. También ha recordado a los científicos los desafíos de comunicarse efectivamente durante la incertidumbre. La pandemia actual no tiene paralelo en la historia moderna, pero el nuevo virus sigue reglas comunes a otros patógenos. Los principios derivados de las infecciones por el virus de la influenza y otras enfermedades infecciosas ofrecen confianza para dos predicciones: el SARS-CoV-2 probablemente haya llegado para quedarse, y la alta tasa de transmisión continuará forzando una elección entre infección generalizada y trastornos sociales, al menos hasta que una vacuna está disponible. La dificultad de esta elección se amplifica por la incertidumbre, común a otros patógenos respiratorios, sobre los factores que impulsan la transmisión. Esta pandemia presenta una oportunidad más amplia para interrogar cómo manejar los patógenos.

La historia moderna está plagada de pandemias que han dado forma al estudio de las enfermedades infecciosas. En los últimos 200 años, al menos siete oleadas de cólera, cuatro nuevas cepas del virus de la influenza, la tuberculosis y el VIH se han extendido por todo el mundo y matado al menos a 100 millones de personas. Prácticamente todas las enfermedades transmisibles continúan evolucionando y transmitiéndose a nivel mundial una vez establecidas, borrando los límites conceptuales entre una pandemia y una temporada de gripe particularmente mala. Más de un siglo estudiando el tamaño y el momento de los brotes, incluidas las intervenciones que son efectivas para detenerlos, ha dado lugar a una teoría cuantitativa y parcialmente predictiva bien fundada de la dinámica de las enfermedades infecciosas.

Una epidemia se extingue cuando una infección promedio ya no puede reproducirse. Esto ocurre cuando una gran fracción de los contactos de un huésped infectado son inmunes. Este umbral, entre donde una infección puede y no puede reproducirse, define la fracción de la población requerida para la inmunidad del rebaño. Se puede calcular con precisión si la epidemiología del patógeno es bien conocida y se utiliza para guiar las estrategias de vacunación. La inmunidad del rebaño se ve constantemente erosionada por los nacimientos de nuevos hospedadores susceptibles y, a veces, por la disminución de la inmunidad en los hospedadores previamente infectados. Todavía no se conoce la durabilidad de la inmunidad al SARS-CoV-2, pero los nacimientos promoverán la supervivencia del virus. Por lo tanto, al igual que otros patógenos transmisibles, es probable que el SARS-CoV-2 circule en los humanos durante muchos años.

Si es lo suficientemente rápido y generalizado, la disminución de la disponibilidad de individuos susceptibles o la tasa de transmisión pueden provocar la extinción de los patógenos. Por ejemplo, en 1957 y 1968, las cepas residentes del virus de la influenza estacional se extinguieron porque la inmunidad cruzada entre estas cepas y las cepas pandémicas emergentes redujo el número de individuos susceptibles (1). Cuatro linajes de coronavirus ya circulan en humanos. Las diferencias genéticas entre estos virus y el SARS-CoV-2 y su rápida propagación sugieren que no compiten entre sí por hospedadores susceptibles, en contraste con el virus de la influenza. Las intervenciones actuales, como el distanciamiento social, tienen como objetivo reducir la transmisión del SARS-CoV-2. El comportamiento humano puede tener efectos sutiles y obvios en la transmisión. Por ejemplo, el horario de vacaciones escolares, que modula los contactos entre niños susceptibles e infectados, influyó en el momento de las epidemias históricas de sarampión en Inglaterra y Gales (2).

Los esfuerzos regionales para impulsar la extinción del SARS-CoV-2 pueden no tener éxito a largo plazo debido a factores estacionales que influyen en la susceptibilidad o la transmisión. Los virus de la influenza fluyen de las regiones tropicales a las templadas y regresan en el invierno respectivo de cada hemisferio. Dentro de las poblaciones tropicales y subtropicales, los virus de la influenza se mueven de manera menos predecible entre las ciudades y pueblos interconectados (3). Estas dinámicas desincronizadas limitan las oportunidades para la disminución de la población mundial. El SARS-CoV-2 y el virus de la influenza son epidemiológicamente similares en que ambos son altamente transmisibles por vía respiratoria, ambos causan infecciones agudas, y ambos infectan y son transmitidos por adultos. Esto sugiere que, en ausencia de intervenciones generalizadas, cuidadosamente coordinadas y altamente efectivas para detener la transmisión del SARS-CoV-2, el virus podría persistir a través de patrones migratorios similares, suponiendo que esté influenciado por fuerzas estacionales similares.

Esta suposición es provisional porque exactamente por qué la mayoría de los patógenos respiratorios exhiben picos de prevalencia en el invierno de las regiones templadas es un enigma de larga data. Los experimentos en hurones mostraron que una humedad absoluta más baja aumenta las tasas de transmisión del virus de la influenza, y los experimentos recientes mostraron que una mayor humedad mejora la eliminación inmunológica del virus de la influenza en los pulmones de los ratones (4, 5). Pero aunque las caídas en la temperatura y la humedad están correlacionadas con el inicio de las temporadas de influenza en los Estados Unidos (6), las epidemias anuales de influenza estacional a menudo comienzan en el sureste húmedo de los Estados Unidos, no en el norte más frío y seco. No existe evidencia clara que sugiera una menor incidencia de infección por el virus de la influenza en las poblaciones tropicales en comparación con las templadas. Desenredar el medio ambiente de los impulsores inmunes endógenos de la dinámica de las enfermedades infecciosas ha sido un desafío estadístico de larga data (7).

La propagación temprana del SARS-CoV-2 ha revelado información crítica sobre el tamaño potencial de la pandemia, si se le permitiera crecer sin control. Esta información tiene bases matemáticas desarrolladas a partir del modelado de otras enfermedades infecciosas (ver la figura). El número total de personas infectadas en una población está determinado por el número reproductivo intrínseco, R0. Este número es el número esperado de casos secundarios causados ​​por un caso índice en una población de otra manera susceptible. De manera equivalente, R0 puede expresarse como la tasa de transmisión dividida por la tasa a la que las personas se recuperan o mueren. Es más preciso describir R0 en referencia a un patógeno y una población huésped, porque el número está parcialmente bajo control del huésped. También determina en parte la prevalencia promedio a largo plazo en la población, suponiendo que los nuevos individuos susceptibles eviten que la enfermedad desaparezca. A medida que progresa una epidemia y parte de la población se vuelve inmune, el número promedio de casos secundarios causados ​​por un individuo infectado se denomina número reproductivo efectivo, Rt.

Por lo tanto, hay dos razones principales para reducir las tasas de transmisión de SARS-CoV-2. En poblaciones con acceso a atención médica avanzada, reducir la tasa de transmisión puede disminuir la mortalidad al aumentar la fracción de casos graves que reciben tratamientos, como la ventilación mecánica. Las intervenciones que reducen la transmisión también reducen el número total de personas que se infectan. Como advierte un informe reciente (8), las intervenciones dramáticas para reducir la Rt podrían no cambiar sustancialmente el número total de infecciones a largo plazo si el comportamiento luego vuelve a la normalidad. Por lo tanto, las reducciones en la transmisión deben mantenerse para disminuir la fracción de la población que se infecta. Los altos costos de las intervenciones actuales subrayan la necesidad de identificar rápidamente las medidas más útiles para reducir la transmisión hasta que se pueda aumentar la capacidad de atención médica y aumentar la inmunidad mediante la vacunación.

Comparar las intervenciones de las poblaciones con la gravedad de sus epidemias es una forma de aprender qué funciona. Las comparaciones de las respuestas de las ciudades de EE. UU. A la primera ola de la pandemia de influenza H1N1 de 1918 demostraron que el distanciamiento social, incluidas las decisiones tempranas de cerrar escuelas, teatros e iglesias, redujo la prevalencia y la mortalidad (9, 10). Del mismo modo, se observan grandes diferencias en el nivel de control del SARS-CoV-2 entre países y pueden ser atribuibles a diferencias en las pruebas de diagnóstico, localización de contactos, aislamiento de individuos infectados y restricciones de movimiento. La prueba de anticuerpos específicos contra el SARS-CoV-2, un marcador de infección, en muestras de sangre proporcionará una confirmación importante de la verdadera cantidad de personas infectadas en diferentes áreas y puede mejorar las estimaciones de los efectos de las intervenciones y la posible cantidad de casos futuros.

Los modelos matemáticos y las pandemias históricas de influenza brindan una advertencia sobre la comparación de los efectos de las intervenciones en diferentes poblaciones. Una disminución rápida en los casos de enfermedad por coronavirus 2019 (COVID-19) o una pequeña epidemia de primavera podría tomarse como evidencia de que las intervenciones han sido especialmente efectivas o de que se ha logrado la inmunidad del rebaño (11). Pero los modelos simples muestran que la dinámica epidémica se vuelve profundamente poco intuitiva cuando hay una variación estacional en la susceptibilidad o la transmisión, y especialmente cuando hay movimiento entre las poblaciones (11). Para el SARS-CoV-2, como el virus de la influenza, la forma de la variación estacional es incierta. Las correlaciones lineales podrían conducir a inferencias causales espurias sobre qué intervenciones funcionan mejor y no deben ser sobreinterpretadas. Las pandemias de influenza anteriores demostraron variabilidad regional en el número, el momento y la gravedad de sus ondas pandémicas (1, 12). Las diferencias entre las poblaciones en su inmunidad preexistente y los factores estacionales podrían haber contribuido a esta variación, incluso antes de que se tengan en cuenta las intervenciones. Dichas diferencias también advierten contra las comparaciones directas entre pandemias anteriores y la pandemia SARS-CoV-2, sin las matemáticas como intermediario.


Tamaño potencial de pandemia e inmunidad colectiva
La fracción de la población que se infecta con una enfermedad transmisible en un modelo epidémico simple aumenta de forma no lineal con el número reproductivo intrínseco, R0, y excederá el umbral para la inmunidad del rebaño. R0 es el número esperado de casos causados por un caso índice. Las intervenciones pueden reducir R0, la fracción total de la población infectada y el umbral para la inmunidad del rebaño. 


Dada la incertidumbre en la dinámica de transmisión del SARS-CoV-2 y la alta certeza en su virulencia, es comprensible que las respuestas tempranas se hayan basado en intervenciones contundentes, como prohibiciones de movimiento y cierres, para salvar vidas. El desafío científico ahora es identificar, a través de inferencia y simulación, medidas que podrían proporcionar una protección tan buena o mejor con un menor costo social. La efectividad de las medidas de control dirigidas, menos disruptivas socialmente, depende de manera crítica de los parámetros biológicos del patógeno (13). Contener el coronavirus del SARS en 2003 requirió un seguimiento intensivo de contactos coordinado por varios países. Finalmente, se identificaron 8098 casos, que probablemente representaban a la mayoría de las personas infectadas con el virus. El control fue factible porque el inicio de la infecciosidad coincidió con el inicio de los síntomas, que fueron consistentemente severos. Con el SARS-CoV-2, la transmisión puede ocurrir antes de que se desarrollen los síntomas, y los perfiles de los síntomas son heterogéneos. La transmisión asintomática y presintomática sustancial hace que las intervenciones basadas en la contención, especialmente aquellas que dependen del reconocimiento de síntomas tempranos o pruebas limitadas, sean más desafiantes y potencialmente inviables.

Una tarea complementaria y urgente es identificar si alguna de las subpoblaciones o entornos contribuyen de manera desproporcionada a la transmisión y dirigirles intervenciones. Por ejemplo, los niños en edad escolar tienden a conducir la transmisión del virus de la influenza en las comunidades, aunque están subrepresentados entre los casos clínicos graves y las muertes (14). Las intervenciones para reducir las infecciones por el virus de la influenza en niños han producido efectos desproporcionados en la reducción de infecciones en adultos. Identificar oportunidades para aumentar los efectos indirectos de las intervenciones es particularmente importante si algunas, como la vacunación, son menos efectivas o no están disponibles en poblaciones vulnerables (por ejemplo, mayores). Los estudios serológicos a nivel de la población para estimar infecciones pasadas, acompañados de estudios en el hogar para medir la duración y la cantidad de eliminación viral en diferentes personas, pueden ayudar a identificar las poblaciones correspondientes para el SARS-CoV-2. Estas poblaciones podrían cambiar con el tiempo si la inmunidad al virus es duradera.

Esta pandemia ilumina las opciones en el manejo de patógenos respiratorios. La mayoría de las personas no tienen acceso o no optan por la vacuna contra el virus de la influenza estacional, aunque el virus de la influenza mata a más de medio millón de personas por año en todo el mundo. No se comunica ampliamente que un caso infeccioso típico del virus de la influenza no tenga fiebre (15), lo que podría promover la propagación de personas que piensan que solo tienen un resfriado (causado por rinovirus, coronavirus estacionales y otros). Las poblaciones han diferido durante mucho tiempo en su apoyo formal e informal para el control de infecciones, por ejemplo, si las personas que se sienten enfermas usan mascarillas o pueden quedarse fácilmente en casa. Las consecuencias son algo predecibles. El SARS-CoV-2 es un virus en evolución, y actualmente se desconoce si esta evolución erosionará la efectividad de una futura vacuna. Las elecciones que se enfrentan ahora seguirán siendo importantes.

Referencias y Notas

1. E. D. Kilbourne, Infect. Dis. 12, 9 (2006). Google Scholar 
2. O. N. Bjørnstad, B. Finkenstadt, B. Grenfell, Ecol. Monogr. 72, 169 (2002). CrossRefWeb of ScienceGoogle Scholar 
3. C. A. Russell et al., Science 320, 340 (2008).Abstract/FREE Full TextGoogle Scholar 
4. J. Shaman, M. Kohn, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 106, 3243 (2009). Abstract/FREE Full TextGoogle Scholar 
5. E. Kudo et al., Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 116, 10905 (2019).Abstract/FREE Full TextGoogle Scholar 
6. J. Shaman, V. E. Pitzer, C. Viboud, B. T. Grenfell, M. Lipsitch, PLOS Biol. 8, e1000316 (2010).CrossRefPubMedGoogle Scholar 
7. K. Koelle, M. Pascual, Am. Nat. 163, 901 (2004). CrossRefPubMedWeb of ScienceGoogle Scholar 
8. N. M. Ferguson, “Report 9: Impact of non-pharmaceutical interventions (NPIs) to reduce COVID-19 mortality and healthcare demand,” Imperial College London, 16 March 2020. Google Scholar 
9. M. C. J. Bootsma, N. M. Ferguson, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 104, 7588 (2007). Abstract/FREE Full TextGoogle Scholar 
10. R. J. Hatchett, C. E. Mecher, M. Lipsitch, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 104, 7582 (2007). Abstract/FREE Full TextGoogle Scholar 
11. R. A. Neher, R. Dyrdak, V. Druelle, E. B. Hodcroft, J. Albert, Swiss Med. Wkly. 150, w20224 (2020).CrossRefPubMedGoogle Scholar 
12. C. Viboud, R. F. Grais, B. A. P. Lafont, M. A. Miller, L. Simonsen, ; Multinational Influenza Seasonal Mortality Study Group, J. Infect. Dis. 192, 233 (2005). CrossRefPubMedWeb of ScienceGoogle Scholar 
13. C. M. Peak, L. M. Childs, Y. H. Grad, C. O. Buckee, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 114, 4023 (2017). Abstract/FREE Full TextGoogle Scholar 
14. C. J. Worby et al., Epidemics 13, 10 (2015). CrossRefPubMedGoogle Scholar 
15. D. K. Ip et al., Clin. Infect. Dis. 64, 736 (2017). CrossRefPubMedGoogle Scholar

Coronavirus: Esperando la potencialmente muy costosa inmunidad colectiva

¿Qué es la inmunidad colectiva y puede detener el coronavirus?

Una vez que suficientes personas obtengan Covid-19, dejará de propagarse por sí solo. Pero los costos serán devastadores.
por Antonio Regalado || MIT Technology Review


Básicamente hay tres formas de detener la enfermedad de Covid-19 para siempre. Uno implica restricciones extraordinarias a la libertad de movimiento y montaje, así como pruebas agresivas, para interrumpir su transmisión por completo. Eso puede ser imposible ahora que el virus se encuentra en más de 100 países. La segunda es una vacuna que podría proteger a todos, pero aún debe desarrollarse.

Un tercero es potencialmente efectivo pero horrible de considerar: solo espere hasta que suficientes personas lo entiendan.

Si el virus continúa propagándose, eventualmente tantas personas se habrán infectado y (si sobreviven) se volverán inmunes que el brote desaparecerá por sí solo a medida que el germen encuentre cada vez más difícil encontrar un huésped susceptible. Este fenómeno se conoce como inmunidad colectiva.

La propagación amplia e imparable del coronavirus es exactamente un resultado que los expertos están modelando en sus peores escenarios. Dicen que, dado lo que saben sobre el virus, podría terminar infectando aproximadamente el 60% de la población mundial, incluso dentro del año.

Esas cifras no son una suposición aleatoria. Están informados por el punto en el que los epidemiólogos dicen que la inmunidad de rebaño debería intervenir para este virus en particular.

La semana pasada, la idea de inmunidad de rebaño explotó en los titulares después de que el primer ministro del Reino Unido, Boris Johnson, indicara que la estrategia oficial del país podría ser ponerse rígido el labio superior y dejar que la enfermedad siga su curso. El principal asesor científico del gobierno del Reino Unido, Patrick Vallance, dijo que el país necesitaba "desarrollar algún tipo de inmunidad colectiva para que más personas sean inmunes a esta enfermedad y reduzcamos la transmisión".

Ayer, el primer ministro de los Países Bajos, Mark Rutte, hizo una nota similar, diciendo: "Podemos frenar la propagación del virus y al mismo tiempo desarrollar la inmunidad grupal de manera controlada".

Pero buscar la inmunidad del rebaño de inmediato sería una estrategia desastrosa, según los modelos más nuevos. Esto se debe a que muchas personas se enfermarán gravemente, y un repentino auge de personas enfermas que necesitan atención hospitalaria o en la UCI abrumará a los hospitales. El Reino Unido esta semana señaló que, en cambio, haría más para suprimir el virus, incluidas las reuniones desalentadoras. Disminuir la velocidad significaría que los sistemas de salud podrían salvarse y salvar vidas, pero en última instancia, el resultado podría ser el mismo. Es decir, incluso si la pandemia se prolonga con el tiempo, aún puede requerir inmunidad colectiva para ponerle fin.

Como Matt Hancock, Secretario de Salud y Asistencia Social del Reino Unido, aclaró después de las críticas al gobierno del Reino Unido: “La inmunidad colectiva no es nuestro objetivo o política. Es un concepto científico ".

Pero, ¿qué es exactamente la inmunidad colectiva?

Cuando una cantidad suficiente de la población es resistente a un germen, su propagación se detiene naturalmente porque no hay suficientes personas capaces de transmitirlo. Por lo tanto, el "rebaño" es inmune, aunque muchas personas dentro de él todavía no lo son.

Aunque es espantoso contemplar la posibilidad de que miles de millones se infecten con el coronavirus, que tiene una tasa de mortalidad estimada por infección de alrededor del 1% (pdf) (eso también es incierto, y la tasa de letalidad de los casos trasladados al hospital es mayor) , hemos visto evidencia de la aparición de inmunidad colectiva en otros brotes recientes.

Cómo la inmunidad colectiva puede detener un virus


En un modelo simple de brote, cada caso infecta a dos más, creando un aumento exponencial de la enfermedad. Pero una vez que la mitad de la población es inmune, un brote ya no crece en tamaño.

Considere el virus Zika, una enfermedad transmitida por mosquitos que causó una epidemia de pánico en 2015 debido a un vínculo con anormalidades de nacimiento.

Dos años después, en 2017, ya no había tanto de qué preocuparse. Un estudio brasileño encontró al verificar muestras de sangre que el 63% de la población en la ciudad costera de Salvador, en el noreste, ya había estado expuesta al Zika; Los investigadores especularon que la inmunidad del rebaño había roto ese brote.

Las vacunas también crean inmunidad colectiva, ya sea cuando se administran ampliamente o, a veces, cuando se administran en un "anillo" alrededor de un nuevo caso de infección rara. Así es como se erradicaron enfermedades como la viruela y por qué la poliomielitis está a punto de borrarse. Se están realizando varios esfuerzos de vacuna para este coronavirus, pero es posible que no estén listos por más de un año.

Incluso entonces, los fabricantes de vacunas pueden encontrarse en una carrera perdedora con la naturaleza para ver cuál protege primero al rebaño. Eso es en parte lo que sucedió en 2017, cuando el fabricante de medicamentos Sanofi abandonó silenciosamente una vacuna contra el Zika en desarrollo después de que se agotaron los fondos: simplemente ya no había mucho mercado.

El coronavirus es nuevo, por lo que no parece que alguien sea inmune a él: eso es lo que le permite propagarse y por qué puede tener efectos tan graves en algunas personas.

Para que la inmunidad colectiva se arraigue, las personas deben volverse resistentes después de haber sido infectadas. Eso ocurre con muchos gérmenes: las personas que están infectadas y se recuperan se vuelven resistentes a contraer esa enfermedad nuevamente, porque su sistema inmunológico está cargado de anticuerpos capaces de vencerla.

Alrededor de 80,000 personas ya se han recuperado del coronavirus, y es probable que ahora sean resistentes, aunque el grado de inmunidad sigue siendo desconocido. "Me sorprendería, pero no totalmente, si las personas no se vuelven inmunes", dice Myron Levine, un experto en enfermedades infecciosas de la Universidad de Maryland. Algunos virus, como la gripe, encuentran formas de seguir cambiando, por lo que la inmunidad contra estos gérmenes estacionales no está completa.

¿Cuándo llegamos a la inmunidad?

El punto en el que alcanzamos la inmunidad del rebaño está matemáticamente relacionado con la propensión de propagación del germen, expresada como su número de reproducción, o R0. El R0 para el coronavirus está entre 2 y 2.5, estiman los científicos (pdf), lo que significa que cada persona infectada lo transmite a otras dos personas, sin medidas para contener el contagio.

Para imaginar cómo funciona la inmunidad colectiva, piense en los casos de coronavirus que se multiplican en una población susceptible de esta manera: 1, 2, 4, 8, 16, y así sucesivamente. Pero si la mitad de las personas son inmunes, la mitad de esas infecciones nunca sucederán, por lo que la velocidad de propagación se reduce efectivamente en dos. Luego, según el Science Media Center, el brote se cuece a fuego lento de esta manera: 1, 1, 1, 1 ... El brote se apaga una vez que la tasa de infección es inferior a 1.

La tasa actual de propagación de gérmenes es más alta que la de la gripe común, pero similar a la de las nuevas influencias emergentes que ocasionalmente han barrido el mundo antes. “Eso es similar a la gripe pandémica de 1918, e implica que el final de esta epidemia requerirá que casi el 50% de la población sea inmune, ya sea por una vacuna que no está en el horizonte inmediato o por una infección natural. ", Dijo el epidemiólogo de la Universidad de Harvard, Marc Lipsitch, a una reunión de expertos en una videollamada este fin de semana.

Cuanto más infeccioso es un virus, más personas necesitan ser inmunes para que podamos lograr la inmunidad del rebaño. El sarampión, una de las enfermedades de transmisión más fácil con un R0 mayor de 12, requiere que aproximadamente el 90% de las personas sean resistentes para que las personas desprotegidas obtengan un viaje gratis del rebaño. Es por eso que pueden surgir nuevos brotes cuando incluso un pequeño número de personas opta por la vacuna contra el sarampión.

Del mismo modo, si el coronavirus se propaga más fácilmente de lo que piensan los expertos, más personas necesitarán contraerlo antes de alcanzar la inmunidad del rebaño. Para un R0 de 3, por ejemplo, el 66% de la población tiene que ser inmune antes de que el efecto entre en acción, según el modelo más simple.

Ya sea 50% o 60% u 80%, esas cifras implican miles de millones infectados y millones asesinados en todo el mundo, aunque cuanto más lentamente se desarrolle la pandemia, mayores serán las posibilidades de que nuevos tratamientos o vacunas ayuden.

Los modelos epidemiológicos más nuevos desarrollados en el Reino Unido ahora recomiendan la "supresión" agresiva del virus. Las tácticas básicas que se recomendarían serían aislar a las personas enfermas, tratar de reducir los contactos sociales en un 75% y cerrar las escuelas. Esas medidas económicamente costosas podrían continuar durante muchos meses.

"Suprimir la transmisión significa que no aumentaremos la inmunidad del rebaño", dice Azra Ghani, la epidemióloga principal del nuevo modelo del brote del Imperial College de Londres. La compensación del éxito es "que lo estamos reduciendo a un nivel tan bajo que tenemos que mantener esas [medidas] en su lugar".

Más formalmente, cómo la desconexión corta el contagio

Cierre de escuelas, cancelación de eventos y localización mesoscópica de epidemias en redes con estructura de orden superior.

Guillaume St-Onge, 1, 2
Vincent Thibeault, 1, 2
Antoine Allard, 1, 2
Louis J. Dubé, 1, 2 y 
Laurent Hébert-Dufresne1, 3, 41
1 - Département de physique, de génie physique et d'optique, Université Laval, Québec (Québec), Canadá G1V 0A62 
2 - Centre interdisciplinaire en modélisation mathématique, Université Laval, Québec (Québec), Canadá G1V 0A6
3 - Vermont Complex Systems Center, Universidad de Vermont, Burlington, VT 05405
4 - Departamento de Informática, Universidad de Vermont, Burlington, VT 05405




La epidemia de COVID-19 es un desafío en muchos sentidos, quizás lo más obvio son las fallas del sistema de vigilancia. En consecuencia, la intervención oficial se ha centrado en la sabiduría convencional (distanciamiento social, lavado de manos, etc.), mientras que las decisiones críticas como la cancelación de grandes eventos como festivales, talleres y conferencias académicas se realizan caso por caso con información limitada sobre riesgos locales Agregar a esta incertidumbre es el hecho de que nuestros modelos matemáticos tienden a asumir cierto nivel de patrones de mezcla aleatorios en lugar de las estructuras de orden superior necesarias para describir estos grandes eventos. Aquí, discutimos una descripción de orden superior de la dinámica epidémica en las redes que proporciona una forma natural de extender los modelos comunes a la interacción más allá de los simples contactos por pares. Mostramos que, a diferencia de la difusión clásica de los modelos de epidemia estándar, las interacciones de orden superior pueden dar lugar a la localización mesoscópica, es decir, un fenómeno en el que hay una concentración de la epidemia alrededor de ciertas subestructuras en la red. Discutimos las implicaciones de estos resultados y mostramos el impacto potencial de una cancelación general de eventos mayores que un cierto tamaño crítico. A diferencia de los modelos estándar de dinámica deslocalizada, las epidemias en una fase localizada pueden colapsar repentinamente al enfrentar una intervención que opera sobre estructuras en lugar de individuos.

2003 05924(1)

Leer más publicaciones en Calaméo

Diferentes tasas de transmisión dependiendo de las medidas preventivas

Singapur recibe elogios por su estrategia COVID-19. Estados Unidos no

Jason Beaubien || NPR


Hong Kong y Singapur fueron golpeados temprano con el coronavirus. Pero cada uno tiene ahora menos de 200 casos, mientras que Francia, Alemania y España, que fueron golpeados tarde, tienen más de 10 veces ese número.

Hace tres semanas, Italia tenía solo tres casos. Ahora tiene más de 10,000.

Estas diferencias dramáticas muestran que la forma en que los gobiernos responden a este virus es importante, dice Mike Ryan, jefe de emergencias de la Organización Mundial de la Salud.

"La esperanza no es una estrategia", dice Ryan, quien es epidemiólogo. "Todavía estamos en el ciclo ascendente de esta epidemia".





Ryan, veterano de numerosas crisis sanitarias mundiales, desde el SARS hasta la gripe aviar y el ébola, señala que las medidas increíblemente agresivas de China, Corea del Sur y Japón parecen estar provocando brotes en esos países bajo control.

"Existe claramente una indicación de que un enfoque sistemático dirigido por el gobierno que usa todas las tácticas y todos los elementos disponibles parece ser capaz de revertir esta enfermedad", dice.

Él ha estado suplicando a los gobiernos de todo el mundo que se preparen para el nuevo coronavirus antes de que aparezca en su puerta, o que entren en acción cuando llegue.

Eso es lo que hicieron Hong Kong y Singapur.

Ambos configuraron rápidamente sistemas para tratar de identificar y tratar cada caso en su territorio. Hong Kong desarrolló pruebas de diagnóstico y las implementó rápidamente en los laboratorios de todos los principales hospitales de la ciudad. En un momento en febrero, Hong Kong tenía 12,000 personas en cuarentena. El primer ministro de Singapur pidió calma y aseguró a los residentes que toda la atención médica relacionada con la enfermedad sería gratuita.

Tanto Hong Kong como Singapur continúan encontrando algunos casos nuevos cada semana, pero han evitado los brotes explosivos que se han producido en otros lugares.

Ashish Jha, que dirige el Instituto de Salud Global de Harvard, dice que la respuesta al coronavirus ha variado dramáticamente en todo el mundo. "Algunos países han sido muy agresivos y en realidad han hecho un buen trabajo", dice. "Otros países han sido bastante poco optimistas y, creo, lo han sufrido inmensamente. Y creo que hay lecciones que aprender para todos nosotros".

Italia e Irán caen en la última categoría. Jha dice que antes de que se diagnosticaran los casos de COVID-19, Italia e Irán parecían negar la enfermedad.

"Quiero decir, tenías al viceministro de salud de Irán tosiendo en la televisión nacional hablando de coronavirus", dice Jha. "Pero realmente no lo tomo en serio".

Ese viceministro de salud luego dio positivo por el virus.

Cuando la gente comenzó a enfermarse, ni Italia ni Irán hicieron muchas pruebas. Tardaron en detener las reuniones masivas. Finalmente, ambos países se vieron abrumados por los casos.

Entonces, ¿cómo ha sido la respuesta de los Estados Unidos?

"Nuestra respuesta es mucho, mucho peor que casi cualquier otro país que haya sido afectado", dice Jha.

Él usa las palabras "impresionante", "fiasco" y "alucinante" para describir lo malo que es.

"Y no lo entiendo", dice con incredulidad. "Todavía no entiendo por qué no tenemos pruebas exhaustivas. ¡Vietnam! Vietnam ha evaluado a más personas que Estados Unidos". (Está citando datos de principios de esta semana. Desde entonces, EE. UU. comenzó a realizar pruebas más amplias, aunque las cifras exactas aún no están disponibles a nivel nacional).

Los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades comenzaron a examinar a los viajeros extranjeros en busca de coronavirus a mediados de enero. Pero los kits de prueba iniciales desarrollados por los CDC eran defectuosos, y tomó semanas resolver los problemas. Es solo esta semana que las pruebas a gran escala han comenzado a estar disponibles en los Estados Unidos.

Jha cree que el retraso de una semana en la implementación de las pruebas, en un momento en que muchas otras pruebas estaban disponibles en todo el mundo, ha obstaculizado por completo la respuesta de Estados Unidos a esta crisis.

"Sin pruebas, no tienes idea de cuán extensa es la infección. No puedes aislar a las personas. No puedes hacer nada", dice. "Y entonces nos quedamos con un conjunto completamente diferente de opciones. Tenemos que cerrar las escuelas, los eventos y todo lo demás, porque esa es la única herramienta disponible hasta que volvamos a hacer las pruebas. Me ha sorprendido lo mal que está la respuesta federal ha sido ".

Él dice que ahora hay probablemente entre cinco y 10 veces más casos en la comunidad que los que realmente se han detectado. Hasta que se encuentren estos individuos, es probable que infecten a más personas, dice, y el brote en los Estados Unidos seguirá creciendo.

Hong Kong, que comenzó las pruebas en enero y se enfrentó al epicentro del brote global, solo había confirmado 126 casos hasta el 10 de marzo. Ese mismo día, Estados Unidos informó el doble de ese número en las últimas 24 horas.

Aplastando la curva de la pandemia con el aislamiento individual

Aplanando la curva de una pandemia: por qué quedarse en casa ahora puede salvar vidas

María Godoy - NPR





A medida que el coronavirus continúa propagándose en los EE. UU., cada vez más empresas envían a sus empleados a trabajar desde casa. Las escuelas públicas están cerrando, las universidades imparten clases en línea, los principales eventos se cancelan y las instituciones culturales cierran sus puertas. Incluso Disney World y Disneyland están listos para cerrar. La interrupción de la vida cotidiana para muchos estadounidenses es real y significativa, pero también lo son los beneficios potenciales para salvar vidas.

Todo es parte de un esfuerzo por hacer lo que los epidemiólogos llaman aplastar la curva de la pandemia. La idea es aumentar el distanciamiento social para frenar la propagación del virus, de modo que no se produzca un gran aumento en la cantidad de personas que se enferman de una vez. Si eso sucediera, no habría suficientes camas de hospital o ventiladores mecánicos para todos los que los necesitan, y el sistema hospitalario de los EE. UU. se vería abrumado. Eso ya está sucediendo en Italia.

"Si piensas en nuestro sistema de atención médica como un vagón del metro y es hora pico, y todos quieren subirse al auto una vez, comienzan a apilarse en la puerta", dice Drew Harris, investigador de salud de la población de la Universidad Thomas Jefferson en Filadelfia. "Se amontonan en la plataforma. Simplemente no hay suficiente espacio en el automóvil para cuidar a todos, para acomodar a todos. Ese es el sistema que está abrumado. Simplemente no puede manejarlo, y la gente termina sin recibir servicios que necesitar."
 
Harris es el creador de una visualización gráfica ampliamente compartida por qué es tan importante aplanar la curva de una pandemia, incluida la actual: hemos reproducido su gráfico en la parte superior de esta página. La curva bronceada representa un escenario en el que el sistema hospitalario de EE. UU. se inunda con pacientes con coronavirus.

Sin embargo, Harris dice que si podemos retrasar la propagación del virus para que no aparezcan nuevos casos a la vez, sino que en el transcurso de semanas o meses ", entonces el sistema puede ajustar y acomodar a todas las personas que posiblemente se enfermarán y posiblemente necesitarán atención hospitalaria ". La gente aún se infectaría, señala, pero a un ritmo que el sistema de salud podría seguir el ritmo, un escenario representado por la curva azul de pendiente más suave en el gráfico.

Estas dos curvas ya se han desarrollado en los EE. UU. en una edad más temprana, durante la pandemia de gripe de 1918. La investigación ha demostrado que cuanto más rápido se movieron las autoridades para implementar los tipos de medidas de distanciamiento social diseñadas para retrasar la transmisión de enfermedades, se salvaron más vidas. Y la historia de dos ciudades de EE. UU., Filadelfia y San Luis, ilustra la gran diferencia que pueden hacer esas medidas.

En Filadelfia, señala Harris, los funcionarios de la ciudad ignoraron las advertencias de los expertos en enfermedades infecciosas de que la gripe ya estaba circulando en su comunidad. En cambio, avanzaron con un desfile masivo en apoyo de los lazos de la Primera Guerra Mundial que reunieron a cientos de miles de personas. "En 48, 72 horas, miles de personas en la región de Filadelfia comenzaron a morir", señala Harris. En 6 meses, unas 16,000 personas habían muerto.

Mientras tanto, los funcionarios en St. Louis, Missouri, tuvieron una respuesta de salud pública muy diferente. A los dos días de los primeros casos reportados, la ciudad rápidamente pasó a estrategias de aislamiento social, según un análisis de 2007.

"Realmente trataron de limitar los viajes de las personas e implementar la salud pública 101: aislar y tratar a los enfermos, poner en cuarentena a las personas que han estado expuestas a enfermedades, cerrar las escuelas y alentar el distanciamiento social de las personas", dice Harris. "Y, por supuesto, alentando la higiene de las manos y otras actividades individuales".

Como resultado, St. Louis sufrió solo una octava parte de las muertes por gripe que vio Filadelfia, según esa investigación de 2007. Pero si St. Louis hubiera esperado una o dos semanas para actuar, podría haber sufrido un destino similar al de Filadelfia, concluyeron los investigadores.

En el momento en que se lanzó la investigación de 2007, el Dr. Anthony Fauci, director del Instituto Nacional de Alergias y Enfermedades Infecciosas y asesor principal en la respuesta de EE. UU. al COVID-19, dijo que la evidencia era clara de que la intervención temprana era crítica en el medio de la pandemia de 1918.

¿En cuanto a cuán grande será la actual pandemia de coronavirus en Estados Unidos? "Va a depender totalmente de cómo respondamos", dijo Fauci al Congreso a principios de esta semana.

"No puedo darte un número", dijo. "No puedo darte un número realista hasta que pongamos en él el factor de cómo respondemos. Si somos complacientes y no hacemos una contención y mitigación realmente agresivas, el número podría aumentar y estar involucrado en muchos, muchos millones ".

Epidemia: Contagio explosivo en redes

Contagio explosivo en redes
J. Gómez-Gardenes, L. Lotero, S. N. Taraskin y F. J. Pérez-Reche
Scientific Report  6, Número del artículo: 19767 (2016)
doi: 10.1038 / srep19767
Nature

Resumen

La difusión de los fenómenos sociales tales como comportamientos, ideas o productos es un fenómeno omnipresente pero extraordinariamente compleja. Una avenida con éxito para estudiar la propagación de los fenómenos sociales se basa en modelos epidémicos estableciendo analogías entre la transmisión de los fenómenos sociales y las enfermedades infecciosas. Estos modelos suelen asumir las interacciones sociales simples restringido a los pares de individuos; efectos del contexto a menudo se descuidan. Aquí nos muestran que los efectos sinérgicos locales asociados con los conocidos de pares de individuos pueden tener notables consecuencias en la propagación de los fenómenos sociales a grandes escalas. Las predicciones más interesantes se encuentran para un escenario en el que la capacidad de contagio de una barra de separación disminuye con el número de individuos ignorantes que rodean el objetivo ignorante. Este mecanismo imita situaciones ubicuos en el que la disposición de los individuos a adoptar un nuevo producto depende no sólo del valor intrínseco del producto, sino también de si sus conocidos adopten este producto o no. En estas situaciones, se muestra que la normalmente suave (de segundo orden) las transiciones hacia la gran contagio social volverse explosivo (primer orden). Por lo tanto, los mecanismos sinérgicos propuestos explican por qué las ideas, los rumores o productos pueden de repente y de forma inesperada a veces pongan al día.

Introducción

La comunicación entre pares de individuos constituye el componente básico de contagio y difusión de los fenómenos sociales tales como comportamientos, ideas o productos macroscópica. La formulación matemática para la difusión social es una reminiscencia de la propagación de enfermedades infecciosas y de hecho es común utilizar el término viral para referirse a la rápida aparición de un producto o una idea. Siguiendo esta analogía, los modelos compartimentales epidémicas como el Suceptible-Infected-Susceptible (SIS) o el Susceptible-Infectados-Recovered (SIR) a menudo se utilizan para describir la dinámica de la transmisión de fenómenos sociales [1,2,3].

modelos epidémicos asumen que la transición a las invasiones epidémicas macroscópicas en una población puede explicarse totalmente en términos de contagios microscópicas entre pares de individuos. Sin embargo, la dinámica de la transmisión social no sólo dependen de las características de la transmisión y recepción de los individuos (por ejemplo, en la actitud o capacidad de persuasión), pero también dependen del contexto del evento de transmisión. En particular, los individuos conectados de alguna manera al transmisor-receptor pares de individuos podrían tener efectos importantes e inesperados sobre la propagación de los fenómenos sociales en el nivel [4,5] de la población mundial.

El primer intento de incluir la influencia del contexto dentro de un marco de modelización epidemiológica fue hecha por Daley y Kendal (DK) [6]. En el modelo DK, un individuo difusión de un rumor o idea puede dejar de difundir y convertirse en un Stifler después de darse cuenta de que el rumor ya es conocido por algunos de sus contactos. La importancia de la contabilidad de este efecto se puso de relieve en su trabajo al mostrar que un rumor puede llegar a una gran fracción de la población, incluso si se transmite a una velocidad infinitamente pequeño α. Este hallazgo estaba en marcado contraste con las epidemias prototipo SIR que ignoran los efectos de las personas que rodean pares infectados susceptibles y sólo predicen grandes invasiones si la tasa de transmisión de la infección es mayor que un cierto valor crítico, es decir, si  [7]. A pesar de la diferente ubicación de el umbral de la invasión dado por los modelos DK y SIR, ambos modelos y sus variantes [8] predicen que el número de personas afectadas por el fenómeno de propagación aumenta sin problemas con el aumento de la velocidad de transmisión de par, α. Esto corresponde a una transición de fase de segundo orden de no invasivo para régimen invasivo en el valor crítico,. transiciones continuas también se obtuvieron con un modelo SIR prolongado que implica mecanismos de transmisión dependientes del contexto, suponiendo que cada contagio entre pares puede ser mejorada o disminuida en función del número de individuos infectados / esparcidor que rodean al par [9,10] transmisor-receptor.

Una transición continua entre los regímenes no invasivas e invasivas no es capaz de explicar el hecho de que los fenómenos sociales a menudo se convierten aceptada por muchas personas durante la noche. Los ejemplos incluyen el desarrollo repentino de los movimientos sociales o el rápido aumento de la popularidad de la nueva herramientas [11] de comunicación. Tales contagios explosivos corresponderían a una transición de fase de primer orden de no invasiva a los regímenes invasivos en los que el número de personas afectadas por el fenómeno de difusión presenta un aumento discontinuo. transiciones explosivos a gran contagio han sido predicho por algunos modelos que incorporan mecanismos sinérgicos complejas. Estos incluyen la dinámica de transmisión en el que ignorantes sólo puede convertirse en esparcidores de si están rodeados por un número de esparcidores de más de un cierto umbral [12,13,14] y modelos en los que la transmisión se ve reforzada por la memoria constructiva de ignorantes a exposiciones previas a la difusión del fenómeno [15,16 , 17,18,19] o por una cooperación no lineal de los difusores [20,21] de transmisión. Tenga en cuenta que los mecanismos de transmisión débilmente no lineal y sin memoria sinérgicos estudiados en las referencias 9,10 no dan lugar a transiciones explosivos. Esto sugiere que una fuerte no linealidad y la memoria a intentos de transmisión anteriores son factores importantes que conducen a las transiciones de explosivos. transiciones explosivas también se han observado en los modelos que asumen configuración adaptable de contactos de huéspedes susceptibles para evitar la infección de individuos [22] infectados. En este caso, el recableado juega un papel crucial para la transición desde la eliminación de explosivos contactos sin volver a cablear además conduce a transiciones [23] continuas.

Modelos que predicen el contagio explosiva suelen asumir fuertes efectos sinérgicos que implican receptores (individuos ignorantes) y transmisores (de esparcidora); los efectos de los conocidos ignorantes de receptores normalmente se descuidan. En este artículo, se muestra que las transiciones de explosivos también puede ocurrir cuando los individuos conocidos de receptores ignorantes son muy reacios a aceptar nuevos fenómenos sociales. Este resultado aparentemente paradójico es especialmente relevante para los contextos sociales en los que los individuos dude unirse a un movimiento colectivo, por ejemplo, una huelga, temiendo el riesgo de convertirse en parte de una minoría que con el tiempo puede ser castigado. Este escenario también corresponde a los ajustes sociales típicos. Por ejemplo, los medios sociales como YouTube, Facebook o Whatsapp tienen típicamente una aceptación [11] muy rápida, que depende tanto de su valor intrínseco y el valor percibido dada por nuestros conocidos.

Velocidad de transmisión sinérgica

El modelo presentado aquí se extiende los propuestos en las referencias 9,10 para incorporar los efectos de los individuos ignorantes conectados a receptores (ver Fig. 1). Tenga en cuenta que esto contrasta con los mecanismos utilizados en las referencias 9,10 que se centraron en los efectos sinérgicos de los esparcidores unidos a los receptores. En particular, se modela la velocidad de transmisión, desde un transmisor a un receptor j ignorante / i saludable como:

Figura 1: Diagrama esquemático de la transmisión desde un transmisor j a un receptor i con tasa sinérgica dada por la ecuación. (1) cuando hay 2 individuos ignorantes / sanos (círculos verdes) que rodean i.




donde α aporte el valor intrínseco del fenómeno en expansión en ausencia del contexto. El número, , de ignorantes de los individuos sanos / conectados con el receptor, i, puede afectar a la transmisión desde j a i y esto se explica por la función . Los modelos no sinérgicos con velocidad de transmisión constante,  se recuperan por . Se analizan los efectos de la transmisión sinérgico utilizando dos casos representativos para la función : (i) exponencial,



y (ii) en dependencia lineal ,



dónde  está la teta-función de Heaviside, que toma los valores de  y  para  . El parámetro β cuantifica el efecto de sinergia constructiva  o interfiriendo  de la transmisión . La dependencia exponencial asumida en la ecuación. (2) ofrece una manera conveniente de asegurar que  para cualquier valor de β. Por lo tanto, utilizamos esta forma para ilustrar la mayoría de nuestros resultados. Sin embargo, el uso de las tasas sinérgicos lineales conduce a resultados y conclusiones similares cualitativamente (ver información complementaria).

Contagio explosivo en epidemias SIS

La evolución del proceso de difusión depende tanto de las tasas de transmisión y reglas dinámicas impuestas. Para ser concretos, comenzamos el análisis mediante el empleo de las tasas de transmisión sinérgicos exponenciales (2) para la dinámica de contagio dadas por las reglas del modelo epidemia SIS aplicado a una población de N individuos. Los individuos forman una red de contactos a través del cual se propaga la información. Para empezar, ilustramos nuestros resultados mediante el uso de un Erdös-Rényi (ER) grafo de tamaño , con un grado de distribución Poisson , caracterizado por nodo de grado medio . A continuación mostramos la fenomenología similar para grafos k-regulares.

En la dinámica del SIS, cada individuo puede ser susceptible (ignorantes) o infectados (spreader). Dentro de tiempo discreto dinámica de transmisión emplean en la mayoría de nuestras simulaciones, un esparcidor, j, en un intervalo de tiempo  , o bien puede transmitir el fenómeno social de un ignorante, i, o con probabilidad  puede llegar a ser ignorantes con probabilidad . A partir de una población compuesta de ignorantes  y un pequeño número de difusores, Y, el número de esparcidores, Y, evoluciona en el tiempo y el sistema alcanza un estado casi constante, que puede o bien estar libre de esparcidores (estado libre de esparcidor caracterizados por Y = 0) o corresponder a un estado endémico con un número positivo de esparcidores, , coexistiendo con los  ignorantes. La coexistencia de Y y X en el estado estacionario endémica es una consecuencia de un equilibrio entre las nuevas infecciones que se producen en cada paso de tiempo y el número de individuos convertirse ignorante. El régimen invasiva endémica aparece cuando toma valores suficientemente grandes.

La Figura 2 muestra la concentración de los esparcidores en el estado estacionario,  como una función de α para varios valores del parámetro β sinérgico. Las curvas mostradas se calculan como sigue. Para cada valor de β, la simulación se inicia con  de una configuración en la que una pequeña fracción (alrededor de 5%) de los nodos se establece inicialmente al azar como esparcidores y el resto son ignorantes. Para cada valor de α, iteramos la dinámica para un gran número de pasos de tiempo de modo que se puede medir con precisión. Posteriormente, α disminuye en y la (MC) de simulación de Monte Carlo se inicia de nuevo, tomando como condiciones iniciales la última configuración obtenida para el valor previo de α. De esta manera, se realiza una continuación adiabático para calcular cada una de las curvas mostradas en la Fig. 2.

Figura 2: Concentración de difusores, <y>, en el estado estacionario de las epidemias SIS en redes Erdös-Rényi con <k> = 4 como una función de la velocidad de transmisión inherente, α.



El resultado sorprendente es que, para valores negativos de suficientes β, el modelo SIS sinérgico muestra una transición de fase abrupto de la fase libre de spreader (sana) a la endémica. Esta aparición explosiva del régimen endémica es nuestro principal hallazgo y se encuentra en marcado contraste con los resultados obtenidos con los modelos tradicionales de epidemia no sinérgicos.

Evolución microscópica de Markov

Pruebas adicionales para el fenómeno se puede obtener por resolución numérica de las ecuaciones de evolución microscópicas de Markov que se extienden en el método introducido [24,25] mediante la incorporación de los efectos de sinergia. Las cantidades clave en este enfoque son las probabilidades  de que un individuo i es un esparcidor en el tiempo t. Su evolución está dada por las siguientes ecuaciones:



donde  es la probabilidad de que un nodo ignorante, i, se pone en contacto con un vecino esparcidor vecina y se convierte en una barra de separación en sí:



Aquí,  es el componente -ésimo de la matriz de adyacencia definida como  si los nodos i y  están conectados y de otra manera. La probabilidad de infección  es una variable de tiempo y dependiente del contexto, que aproximamos por



usando de la expresión  para el número de vecinos saludables de un nodo i en el tiempo t. Al resolver el conjunto de ecuaciones. (4), se obtiene la distribución estacionaria  que produce el valor estacionario de los individuos infectados .

En la Fig. 3, se muestran los resultados de la solución numérica de las ecuaciones. (4) en una red de ER de grado medio. Ecs. (4) para  han sido resueltos considerando dos conjuntos diferentes de condiciones iniciales correspondientes a cualquiera de los dos,  (la curva de trazos roja con una flecha hacia arriba) o,  (la curva de trazos azul con una flecha hacia abajo). Para valores pequeños y grandes de la tasa de contagio inherente, α, las soluciones son independientes de las condiciones iniciales. En contraste, dos estados estacionarios diferentes correspondientes a los regímenes de separación libres de difusores  y endémicas  se observan en para en función de las condiciones iniciales. Así, tanto el MC y la evolución de Markov predicen la coexistencia de estados difusión endémicas  y libre de esparcidor y el efecto de histéresis correspondiente con transiciones discontinuas entre estos regímenes.

Figura 3: Concentración de crucetas, <y>, como una función de α para el proceso de SIS en una red de Erdös-Rényi de <k> = 6 cuando β = -0,5.

Las curvas de trazos indican la solución obtenida mediante la resolución de las ecuaciones de evolución Markovianos mientras que los círculos de color ámbar sólidos corresponden a los resultados obtenidos mediante el uso de simulaciones MC (103 Realizaciones para cada valor de α). El efecto de histéresis señala la existencia de una región de bi-estabilidad. La curva continua muestra la fracción  de realizaciones (en las simulaciones MC) que terminan en la solución totalmente ignorante . La tasa de recuperación es .


Los resultados anteriores se corroboraron mediante simulaciones MC van desde diferentes configuraciones iniciales con las fracciones de esparcidores dibujadas uniformemente al azar entre 0 y 1 (en contraste con los datos presentados en la Fig. 2, donde, debido a la especial elección de las condiciones iniciales, solamente la rama superior del se muestra la histéresis en la región de bi-estabilidad). La comparación entre los dos enfoques se muestra también en la Fig. 3 en términos de la fracción  de configuraciones iniciales que conducen al régimen propagadores de forma gratuita en las simulaciones MC (ver la línea continua en la Fig. 3). La región bi-estable predicho por el formalismo de Markov es de hecho así capturada por la región en la que los cambios entre 0 y 1.

Modelo de campo medio

Para obtener una mayor comprensión de cómo aparecen las transiciones explosivo en el modelo SIS sinérgico, consideramos un modelo de campo medio heterogéneo. Dentro de este formalismo, la concentración , de los esparcidores de grado k evoluciona a medida como sigue [26]:



donde  es la fracción promedio de esparcidores que rodean a cada nodo. La tasa de transmisión hacia un i ignorante de grado k está dada por  que es una función del número medio de nodos ignorantes, , rodea el receptor, i.

El estado estacionario del proceso de SIS en la aproximación de campo medio se corresponde con la condición , que, a partir de la ecuación. (7), satisface la siguiente condición:



Esta igualdad es trivialmente satisfecha por  el cual se corresponde con el régimen sin esparcidores. El régimen no trivial con la difusión corresponde a  macroscópicas. Eq. (8) se pueden resolver analíticamente para una red con una topología de grafo z regular azar caracterizado por un grado de distribución, . En este caso, la concentración de los esparcidores, y, coincide con θ que es la solución de . La condición más adelante puede ser refundida para y en la forma siguiente:



La solución de la ecuación. (9) para la velocidad de transmisión sinérgico exponencial,  (una tasa lineal conduce a resultados análogos como se muestra en la información complementaria), es  cuando  y , de lo contrario. En este caso, la función de Lambert, , implícitamente se define por la relación  [27].

La función de Lambert sólo se define por  y, sobre todo, es de doble valorada en el intervalo . La condición  implica que los sistemas con velocidad de transmisión  son necesariamente inherente en el régimen de exención de separación con . Para , hay dos soluciones no triviales asociados con las dos ramas,  y ,  para  , con las soluciones físicas en el intervalo . El análisis de las dos ramas de  revela que la transición de no invasivo para régimen invasiva cuando el aumento de α a β fijo es suave si  ya que sólo la rama  conduce a valores positivos de y . Esto ocurre por:



Aquí,  es un umbral de epidemia que corresponde a la situación en la que la solución no trivial positiva a la ecuación. (9) coincide con la solución libre de esparcidor, es decir . Tenga en cuenta que para  el umbral habitual para el proceso de SIS se recupera a . Para , la solución  se vuelve inestable mientras que la solución positiva para y es estable y corresponde al estado endémica.

Transiciones explosivas se observan para  que las dos ramas de  toman valores positivos tan pronto como sea . Sin embargo, la solución correspondiente a  se vuelve negativa para  y debe ser desechado. A continuación, a la conclusión de que la región de bi-estabilidad asociada con la transición explosivo se limita a valores de  y . Por último, el análisis de campo medio concluye que los tres regímenes posibles (epidemia, sanos y bi-estabilidad) se encuentran en un punto [28] tricritical se encuentra en:



donde la transición invasión que ocurre con el aumento de α y  β fijos en cambios de segunda a primera orden con la disminución de β.

En la Fig. 4, se muestra el diagrama de contagio en el avión. Las curvas continuas muestran las predicciones de análisis    y   para los grafos z-regulares aleatorios con , (a)  y (b) en los paneles (a) y (b), respectivamente. Los resultados están en buen acuerdo con la región bi-estable obtenida mediante la resolución de las ecuaciones de evolución de Markov para gráficos z-Normal (ver curvas de trazos en la Fig. 4). Además, los círculos muestran los límites de gráficos ER con . Se hace evidente que la heterogeneidad grado nodo de gráficos ER conduce a una región de bi-estabilidad menor en comparación con la predicción para gráficos z regular aleatorios. Por otra parte, la posición del punto triple en las redes de ER (es decir, la intersección de las dos ramas de círculos) está en buen acuerdo con los valores teóricos y numéricos (que se encuentra en la intersección de las curvas continuas y discontinuas, respectivamente) obtenidos para gráficos z-regular.

Figura 4: Diagrama de contagio en el plano (α, β).

Las curvas continuas muestran la predicción de campo medio teórico para los límites de la región de bi-estabilidad,  y , en un grafo z-regular al azar con (a)  y (b) . Las líneas y los círculos de puntos muestran los límites correspondientes calculados mediante la resolución de las ecuaciones de evolución de Markov en un grafo z-regular y una red de ER con , respectivamente. La tasa de recuperación se establece en  en ambos paneles.

Contagio explosivo con la eliminación de los esparcidores

El modelo asume que el SIS esparcidores se detenga temporalmente la difusión del fenómeno social, pero con el tiempo puede reanudar extendiéndola después de conocer a un esparcidor. En algunos casos, sin embargo, puede ser más apropiado asumir que esparcidores dejan difundir de forma permanente, es decir, se convierten en stiflers o eliminadas por pasar del estado de separación a un nuevo compartimento para los individuos eliminados, como en el modelo epidemia SIR. Dentro de un marco de campo medio, es posible formular un modelo con mecanismos de eliminación más bien generales que abarcan tanto el modelo SIR y una variante del modelo DK introducido por Maki y Thompson (MT)[29]. La dinámica de las concentraciones de ignorantes (x), esparcidores (y) y removidos (r) en los gráficos z-regular de azar están dadas por las siguientes ecuaciones:




Estas ecuaciones se supone que la población se mantiene constante, es decir, las concentraciones satisfacen la condición de cierre  para cada t.

La velocidad de transmisión se define como , donde  da una contribución sinérgica a la transmisión que depende del número de ignorantes,  que rodea un receptor i, es decir,  (Tabla 1 da las expresiones de  los casos de transmisiones sinérgicos exponenciales y lineales).

Tabla 1: Resumen de las funciones que describen los modelos con la eliminación de difusores.

Modelo	γ(x)	σz(x)	F2(x)
SIR, no synergy	1	1	ln(x)
SIR, linear synergy	1
SIR, exponential synergy	1
MT, no synergy		1
MT, linear synergy
MT, exponential synergy

1. Las expresiones están dadas para grafos aleatorios z-regulares. La función  aparece en  para modelos con sinergia exponenciales la integral exponencial definida como .

Por último, la transición desde el estado de separación a la que se retira es mediada en las Ecs. (13) y (14) por el parámetro μ (la tasa de eliminación espontánea de un esparcidor) y la función que captura varios mecanismos posibles para la eliminación de crucetas. En particular, el modelo supone que SIR esparcidores dejar de difundir los fenómenos sociales de forma espontánea (es decir, la eliminación no se ve afectado por los encuentros con otros individuos). En contraste, el modelo MT asume que la recuperación sólo puede ocurrir cuando un esparcidor se encuentra con otro esparcidor o un individuo eliminados (por ejemplo, un Stifler). Estos dos comportamientos pueden ser modelados mediante el establecimiento (véase la tabla 1),



de modo que el análisis de los modelos de SIR y MT se puede hacer de una manera unificada mediante la resolución de las ecuaciones. (12) - (14),,.

En general, no es posible obtener una solución exacta para el sistema definido por las ecuaciones. (12) - (14),,. Sin embargo, es posible obtener la concentración final de los individuos retirados,  que cuantifica la fiabilidad de cualquier fenómeno difusión con eliminación permanente de difusores. La solución viene dada en forma implícita por la siguiente ecuación que se expresa más convenientemente en términos de la concentración final de ignorantes,  (véase la información complementaria para más detalles):



Aquí,  es la concentración inicial de ignorantes y la función,



incorpora mecanismos sinérgicos  y  remoción y regidas por, respectivamente. Las expresiones particulares para  que corresponden a diferentes remoción y mecanismos sinérgicos analizados en este trabajo se dan en la Tabla 1. Las transiciones de contagio explosivas ocurren cuando la Ec. (16) da más de una solución para . Los regímenes con transiciones continuas y explosivas están separadas por un régimen crítico para el cual  muestra un punto de inflexión en algún valor de . Estas condiciones y definición de  dados por la Ec. (16) se obtienen las siguientes ecuaciones para el punto tricritical:




donde el primer denota la derivada con respecto a x. A partir de las ecuaciones. (18) y (16), la velocidad de transmisión inherente en el punto triple puede ser expresado como:



En general, cualquier difusión fenómeno con la eliminación de los esparcidores para los que Ecs. (18) - (19), tienen una solución con   pueden exhibir transiciones explosivas para una fuerte sinergia suficiente para interferir. En particular, tanto en el modelo de exhibición transiciones explosivos SIR y MK, en analogía con los mostrados por el modelo  en el SIS. En la información complementaria, se presenta un análisis completo de las ecuaciones generales derivadas aquí para el modelo SIR con velocidad de transmisión sinérgica lineal. A pesar de ser un modelo relativamente simple, que exhibe las principales características típicas de las transiciones explosivos característicos de los modelos más complicados.

En la Fig. 5 se muestran las soluciones de la ecuación. (16) (curvas de trazos) para el modelo SIR con tasa exponencial sinérgico junto con los resultados (puntos) obtenidos por simulaciones MC. La evolución de las curvas discontinuas revela una transición sin problemas a los regímenes de explosivos durante la disminución β. Estos resultados corresponden a una concentración relativamente grande inicial de ignorantes. Sin embargo, es posible demostrar que las transiciones de explosivos pueden ser observados para cualquier concentración inicial positiva de ignorantes previsto , cuando  disminuye con . Sorprendentemente, las transiciones discontinuas predicho por el análisis de campo medio son corroborados por las simulaciones numéricas MC, mostrando regiones bi-estabilidad en el que baja y gran fiabilidad del fenómeno cada coexisten en un intervalo de α.

Figura 5: Concentración de removeds al final de epidemias SIR como una función de la velocidad de transmisión inherente, α.

La concentración inicial de ignorantes es  y la velocidad de eliminación es . Los símbolos indican los resultados de las simulaciones MC para redes ER de tamaño  y  (103 realizaciones de epidemias para cada valor de α, todas las epidemias se ejecutan en el mismo gráfico al azar). Los diferentes colores corresponden a diferentes valores de β, como está marcado por la caja de color. Las líneas muestran las soluciones analíticas del modelo de campo medio SIR sinérgico. Una vista ampliada de la aparición de la discontinuidad para  se muestra en el recuadro.

Discusión

En resumen, nuestros resultados proporcionan evidencia convincente de explosivos transiciones hacia la aceptación macroscópica de los fenómenos sociales. La naturaleza explosiva de estas transiciones tiene importantes implicaciones en escenarios sociales reales. Por ejemplo, puede representar barreras inesperadas y desafiantes para el control de las pandemias mundiales de los fenómenos sociales no deseado o, por el contrario, un escenario interesante para la difusión de productos e ideas innovadoras. El factor clave responsable de las transiciones de explosivos es la acción negativa sobre la transmisión de los vecinos ignorantes. Tal oposición impide que las transiciones a grande contagio hasta que la transmisión se vuelve lo suficientemente fuerte como para superar la resistencia de los contactos ignorantes. En este punto, una explosión a gran contagio se produce. Por lo tanto, contagios explosivas aparecen como subproducto de la inhibición de la epidemia de inicio hasta un punto en el que una avalancha macroscópica de contagios se produce inevitablemente. Tenga en cuenta que los mecanismos inhibitorios están ausentes en los modelos anteriores, donde la sinergia se asoció con los vecinos infectados de receptores [9,10]. Hemos comprobado que tal mecanismo sinérgico lleva a transiciones discontinuas en las epidemias del SIS para la sinergia constructiva, pero lo suficientemente transiciones en SIR propagación son continuos [9,10]. Por el contrario, la sinergia asociada con los vecinos ignorantes lleva a transiciones explosivos más ubicuos que se producen con y sin eliminación de difusores. Una vez más, esto pone de manifiesto el importante papel de los mecanismos inhibitorios sobre las transiciones explosivos.

El mecanismo que conduce a contagios explosivos es una reminiscencia de la agrupación procesos propuestos en modelos [30,31,32,33,34,35] de percolación explosiva fusión. Sin embargo, estos modelos se basan en prejuicios externos a escala mundial para la fusión de clúster que favorece el retraso de la transición de percolación que a menudo carecen de una motivación y aplicación [31] clara. En nuestro caso, los contagios explosivos son el resultado de la acción combinada de los efectos sinérgicos locales, de acuerdo con las reglas microscópicos responsables de fenómenos de sincronización [36,37,38,39] explosiva, atascos en redes [40] complejo o epidemias [16,17,18] generalizadas. Hemos demostrado que la sinergia asociada con los vecinos ignorantes conduce a auténticos transiciones discontinuas en los gráficos al azar que implican una fracción relativa de hosts más pequeños de uno. Esto es similar a la fenomenología de percolación transiciones discontinuas de tipo II en processes35 fusión clúster.

Muy recientemente, también se han reportado las transiciones discontinuas de este tipo para procesos [41] de contacto, en la que el mecanismo de recuperación es similar a la del modelo SIS. Aquí hemos demostrado que las transiciones discontinuas de contagio global no sólo se observan en la dinámica del SIS, pero se predice robusta para los modelos con la recuperación permanente de crucetas. Tales modelos son sin duda más realista que los procesos de SIS y de contacto de la propagación de los fenómenos sociales. Es importante destacar que, aunque los efectos no lineales en las tasas de transmisión pueden promover transiciones [20,21] discontinua, la no linealidad no es la fuerza motriz responsable de contagios explosivas asociadas con la inhibición por conocidos ignorantes, puesto que se encuentran incluso para tasas sinérgicos débilmente no lineales .

Los mecanismos sinérgicos estudiados aquí y en nuestro trabajos [9,10] anteriores están asociados con el número de vecinos ignorantes de esparcidores o el número de vecinos de esparcidor de receptores, respectivamente. Sin embargo, nuestros modelos podrían ser fácilmente adaptados para estudiar los efectos de otros mecanismos sinérgicos asociados con, por ejemplo, la fracción relativa de vecinos ignorantes o esparcidor en lugar de su número [42,43,44]. Dada la heterogeneidad grado relativamente bajo de nodo de las redes consideradas en este trabajo, no prevemos diferencias cualitativas entre nuestros resultados y los de una velocidad de transmisión en función de la fracción de vecinos. Por el contrario, las diferencias podrían ser más importantes para la propagación en redes con más heterogénea nodo de grado (por ejemplo, en redes [23] libre de escala).