Procesos de contagio en competencia: contagio complejo desencadenado por contagio simple
Byungjoon Min & Maxi San Miguel
Scientific Reports
volume 8, Número de artículo: 10422 (2018)
Nature
Resumen
La evidencia empírica revela que los procesos de contagio ocurren a menudo con la competencia del contagio simple y complejo, lo que significa que mientras algunos agentes siguen un contagio simple, otros siguen un contagio complejo. El contagio simple se refiere a los procesos de propagación inducidos por una única exposición a una entidad contagiosa, mientras que el contagio complejo exige exposiciones múltiples para la transmisión. Inspirados por esta observación, proponemos un modelo de dinámica de contagio con una probabilidad de transmisión que inicia un proceso de contagio complejo. Con esta probabilidad, los nodos sujetos a contagio simple se adoptan y desencadenan un proceso de contagio complejo. Obtenemos un diagrama de fase en el espacio de parámetros de la probabilidad de transmisión y la fracción de nodos sujetos a un contagio complejo. Nuestro modelo de contagio exhibe una rica variedad de transiciones de fase tales como transiciones de fase continua, discontinua e híbrida, criticidad, tricriticidad y transiciones dobles. En particular, encontramos una transición de doble fase que muestra una transición continua y una siguiente transición discontinua en la densidad de los nodos adoptados con respecto a la probabilidad de transmisión. Mostramos que la doble transición ocurre con una fase intermedia en la que los nodos que siguen al contagio simple se adoptan, pero los nodos con un contagio complejo continúan siendo susceptibles.
Introducción
Los modelos de contagio social y biológico en general se dividen en dos clases según la respuesta a las exposiciones sucesivas: contagio simple y complejo1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. El contagio simple, inspirado principalmente en la diseminación de la enfermedad, representa un proceso de contagio con interacción independiente entre lo susceptible y lo infeccioso5,7,13,14,15,16,17,18,19. Los modelos típicos de epidemias compartimentales, como el modelo susceptible-infectado-recuperado5,13,15,16 y el modelo sensible susceptible-infectado5,14,16, pertenecen a la clase de procesos simples de contagio. Los modelos de contagio simple están controlados por una probabilidad de infección independiente del número de exposiciones. Típicamente, un modelo de contagio simple muestra una transición de fase continua entre una fase epidémica y una fase libre de enfermedad para un valor crítico de la probabilidad de infección. La otra clase de procesos de contagio es el contagio complejo que representa los fenómenos de propagación en los que se necesitan múltiples exposiciones a una entidad en expansión para cambiar el estado de los agentes8,9. Los modelos de procesos complejos de contagio abarcan una amplia gama de modelos contagiosos, como el modelo de umbral4,6,20, el modelo epidémico generalizado21,22,23,24,25, la percolación por difusión26, el aprendizaje de umbral27,28 y la percolación de bootstrap29. La difusión de las modas, las ideas y las nuevas tecnologías en nuestra sociedad se describe mejor por un contagio complejo más que por un simple contagio debido a un efecto colectivo en el contagio social30,31,32,33,34,35. La diferencia fundamental del contagio complejo en comparación con los procesos simples de contagio es que la probabilidad de adopción depende del número de exposiciones. Por ejemplo, en el modelo de umbral, la adopción de una nueva innovación ocurre cuando el número de vecinos adoptados es mayor que un cierto umbral4,6. Los modelos de contagio complejo a menudo dan como resultado una transición de fase discontinua en contraste con la transición de fase continua del contagio simple6,33,36,37,38,39.Los modelos de contagio clásico suponen que la entidad contagiosa determina el tipo de contagio, ya sea simple o complejo16,30. Recientemente, el análisis exhaustivo de la difusión de un perfil de igual signo en un servicio de redes sociales (SRS) 40,41,42 arroja luz sobre los mecanismos de los procesos de contagio entre los susceptibles y los adoptados. El análisis de los datos empíricos muestra que las características de los agentes también afectan el tipo de contagio41. Específicamente, se observa que el número de exposiciones exitosas que requieren adopción es muy diferente para diferentes individuos41. En esta observación, algunos agentes cambian su perfil en SNS justo después de la primera exposición al meme (contagio simple), pero los otros necesitan más exposiciones para ser adoptados (contagio complejo). Esto implica una competencia entre el contagio simple y el complejo en función de la adoptabilidad de los agentes, que se desvía de la visión tradicional de los modelos de contagio. La heterogeneidad de la adoptabilidad puede extenderse a muchos fenómenos de propagación debido a la diversidad individual de terquedad, credo e información preexistente. Estos hechos requieren incorporar tal heterogeneidad al modelar los procesos de contagio que integran el contagio simple y complejo43,44,45,46,47. Incorporando tal heterogeneidad, aquí proponemos un modelo de contagio que además considera una probabilidad de transmisión en el proceso de contagio que actúa como una probabilidad de infección en modelos epidémicos o una probabilidad de ocupación en los procesos de percolación de bonos en una red. Representa una prueba de transmisión de vecinos adoptados, antes de los procesos de adopción posteriores. Efectivamente, la probabilidad de transmisión actúa como un simple proceso de contagio que desencadena un proceso de contagio complejo.
En nuestro modelo de procesos de contagio con probabilidad de transmisión, unificamos el contagio simple y complejo al considerar agentes con adoptabilidad heterogénea. Asignamos explícitamente un nivel diferente de adoptabilidad para que los individuos imiten la heterogeneidad de la adoptabilidad observada en los datos empíricos41. La probabilidad de transmisión modela la posibilidad de transmitir e identificar conexiones exitosas (activas) para procesos de adopción. Con estas generalizaciones, nuestro modelo incluye una variedad de modelos de contagio, como el modelo susceptible infectado-recuperado13, el modelo de umbral4,6, la percolación de difusión26 y la percolación de bootstrap48. Nuestro modelo de contagio generalizado presenta una gran variedad de fenómenos que incluyen transiciones de fase continua, discontinua e híbrida, criticidad, tricriticidad y transiciones dobles. Mostramos que una doble transición con una fase intermedia puede ocurrir cuando un sistema está compuesto de nodos con adoptabilidad heterogénea.
Modelo de Contagio Generalizado
Consideramos una red con N nodos que pueden estar en un estado susceptible o adoptado. La adoptabilidad θ de cada nodo se extrae al azar de una distribución Q (θ). Para ser específico, θ representa la cantidad de exposiciones exitosas requeridas para cambiar de susceptible a adoptado. Por ejemplo, cuando θ = 1, un nodo se adopta después de una sola exposición exitosa, lo que indica un contagio simple, mientras que cuando θ> 1, representa un nodo de contagio complejo ya que se necesitan múltiples exposiciones para su adopción. Variando la adoptabilidad θ, podemos describir procesos de contagio simples y complejos. La posibilidad de transmisión está determinada por una probabilidad de transmisión λ. Cada nodo adoptado intenta propagarse con la probabilidad λ y, por lo tanto, podemos identificar conexiones activas entre el susceptible y el adoptado. Al presentar la distribución de la adoptabilidad Q (θ) y la probabilidad de transmisión, unificamos los dos mecanismos de contagio y sugerimos un modelo de contagio generalizado. Vale la pena señalar que se consideró la adoptabilidad heterogénea pero sin una probabilidad de transmisión en el modelo de umbral4,42, la percolación heterogénea del núcleo k45,46 y un modelo de partículas estocásticas que interactúan49.En nuestro modelo, la dinámica es en tiempo discreto. Inicialmente, todos los nodos son susceptibles excepto una fracción ρ de nodos de semilla que se adoptan. Los nodos recién adoptados intentan la transmisión con una probabilidad λ a todos sus vecinos susceptibles en el mismo paso de tiempo. En el siguiente paso, cada nodo susceptible actualiza el número de transmisiones exitosas y se adopta si el número de exposiciones exitosas es igual o mayor que su umbral. Más detalladamente: supongamos que un nodo adoptado i prueba la transmisión a su vecino susceptible j con una probabilidad λ. Si la transmisión es exitosa, el enlace de i a j se activa y con la probabilidad complementaria 1 - λ, el enlace permanece inactivo. Entonces, el nodo susceptible j se adopta cuando el número de exposiciones exitosas (equivalentemente el número de enlaces activos hacia el nodo j) excede o iguala su adoptabilidad θj. Este proceso continúa hasta que no haya más agentes recién adoptados en una red.
Los principales parámetros de nuestro modelo son λ y Q (θ) que reflejan respectivamente el grado de transmisibilidad de una entidad contagiosa y la distribución de adoptabilidad de los nodos. Dependiendo de estos dos parámetros, nuestro modelo se convierte en uno de una amplia gama de modelos de contagio. El modelo susceptible-infectado-recuperado13,15 se recupera cuando (λ, Q (θ)) = (λ, δθ, 1) donde δi, j representa la función delta Kronecker (la función es 1 si i = j y 0 en caso contrario) . Difusión percolación26 corresponde a (λ, Q (θ)) = (1, δθ, n> 1) donde n es cualquier número entero mayor que la unidad, mientras que el modelo de umbral 6 de Watts corresponde a (λ, Q(θ)) = \((1,{\delta }_{\theta ,{k}_{i}T})\) donde T es un umbral y ki es el grado de nodo i.
La Figura 1 muestra un ejemplo de nuestro modelo de contagio generalizado con Q(θ) = (1 − p)δθ,1 + pδθ,2. Una fracción (1 - p) de nodos denotados por círculos sigue un contagio simple (θ = 1) y una fracción p de nodos denotados por cuadrados sigue un contagio complejo que requiere múltiples exposiciones exitosas para adoptar (θ > 1). Inicialmente, todos los nodos son susceptibles excepto una semilla indicada con un símbolo de estrella [Fig. 1 (a)]. A continuación, los nodos adoptados intentan diseminar la entidad contagiosa con una probabilidad λ. Si una prueba tiene éxito, un nodo susceptible está expuesto a una entidad contagiosa (indicada por una línea gruesa). Tenga en cuenta que un solo éxito de transmisión no siempre da como resultado la adopción porque el contagio complejo requiere múltiples exposiciones exitosas. Cuando el número de exposiciones exitosas excede o iguala la adoptabilidad θ de un nodo, un nodo susceptible pasa al estado adoptado (símbolos rellenos) [Fig. 1 (b-d)]. Eventualmente, medimos la fracción final de los nodos adoptados R en el estado estacionario.
Figura 1
Un ejemplo de nuestro modelo de procesos de contagio con una probabilidad de transmisión que unifica el contagio simple y complejo. En este ejemplo, cinco nodos (círculos) de nueve nodos siguen un contagio simple y tres nodos (cuadrados) siguen un contagio complejo que requiere la adopción de dos exposiciones. La dispersión comienza desde una semilla (símbolo de estrella) y los nodos susceptibles (símbolos abiertos) se adoptan (símbolos rellenos) cuando el número de exposiciones exitosas excede o iguala su adoptabilidad asignada, ya sea 1 por contagio simple o 2 por contagio complejo.
Aproximación analítica
Para predecir la fracción final de los nodos adoptados, derivamos ecuaciones de campo medio asumiendo una estructura de tipo árbol local en el límite N → ∞. Nuestra aproximación es exacta en una estructura de árbol y da muy buen acuerdo con simulaciones numéricas para gráficos aleatorios dispersos con solo bucles infinitos. Nuestro enfoque se basa en desarrollos teóricos recientes para el modelo de umbral de cascada en redes36. Una técnica de función generadora desarrollada para un modelo de procesos de percolación15 también comparte la idea de nuestro tratamiento analítico. Dada una distribución de grados P (k) y una distribución de adoptabilidad Q (θ), la fracción final esperada de los nodos adoptados R de una fracción de nodos iniciales de semillas ρ (elegidos aleatoriamente) puede expresarse como 15,36 [ver detalles en Información complementaria] ,R = ρ + (1-ρ) Σk = 0∞P (k) Σm = 0k (km) qm∞ (1-q∞) k-mΣθ = 1∞Q (θ) [1-Σs = 0θ-1 (ms) λs (1-λ) m-s].
(1)
Aquí q∞ es la probabilidad de estado estable de que un nodo se adopte siguiendo un enlace elegido al azar, y λ es la probabilidad de transmisión entre el susceptible y el adoptado. El término (km) qm∞ (1-q∞) k-m
corresponde a la probabilidad de tener m vecinos adoptados de k vecinos. Y, [1-Σθ-1s = 0 (ms) λs (1-λ) m-s]
representa la probabilidad de que el número de exposiciones exitosas con la probabilidad de transmisión λ de m vecinos adoptados exceda o iguale la adoptabilidad θ. En general, Eq. 1 corresponde a la probabilidad de que un nodo elegido al azar sea un nodo semilla con probabilidad ρ o no sea una semilla con la probabilidad (1 - ρ) pero finalmente se adopte en el proceso dinámico.
La probabilidad q∞ se puede obtener resolviendo una ecuación recursiva. Primero definimos qt como la probabilidad de que un nodo sea adoptado siguiendo un enlace elegido al azar en el nivel t. En un gráfico similar a un árbol local, qt se puede obtener mediante (derivación en Información complementaria)
qt + 1 = ρ + (1-ρ) Σk = 1∞kP (k) ⟨k⟩Σm = 1k-1 (k-1m) qmt (1-qt) k-m-1Σθ = 1∞ Q (θ) [1-Σs = 0θ-1 (ms) λs (1-λ) m-s].
(2)
El punto fijo de la ecuación anterior corresponde a q∞ a partir del valor inicial q0 = ρ. En general, obtenemos q∞ resolviendo iterativamente Eq. 2 y obtenga R reemplazando el valor obtenido para q∞ en Eq. 1.
Desarrollamos aún más la teoría para un gráfico Erdös-Rényi (ER) con un grado promedio z como un ejemplo simple. Los gráficos de ER en el límite N → ∞ satisfacen claramente la estructura de tipo árbol local y, por lo tanto, nuestro cálculo teórico proporciona una buena aproximación. Usando la distribución de grados P (k) = e-zzk / k !, la fracción final de los nodos adoptados R se convierte en lo mismo que q∞ ya que las ecuaciones 1 y 2 se vuelven equivalentes. Entonces, la ecuación de autoconsistencia simplemente se expresa como
R == ρ + (1-ρ) Σ∞θ = 1Q (θ) [1-e-zλRΣθi = 1 (zλR) i-1 (i-1)!] Ρ + (1-ρ) Σ∞ θ = 1Q (θ) [1-Γ (θ, zλR) Γ (θ)],
(3)
donde Γ (x) es la función gamma y Γ (x, y) es la función gamma incompleta. Por lo tanto, para redes ER, podemos obtener el punto fijo de R directamente resolviendo la ecuación de autoconsistencia anterior.
Resultados
Diagrama de fases
En aras de la simplicidad, consideramos un modelo con una distribución bimodal de la adoptabilidad Q (θ) = (1 - p) δθ, 1 + pδθ, n en las redes ER. En esta configuración, una fracción (1 - p) de nodos sigue un contagio simple con θ = 1 (nodos simples) y una fracción p de nodos sigue un contagio complejo que requiere la adopción de exposiciones exitosas (nodos complejos). Entonces tenemos tres parámetros, p, n, y λ que corresponden respectivamente a la fracción de nodos complejos, el número de exposiciones exitosas requeridas para que los nodos complejos lo adopten, y la probabilidad de transmisión. Suponiendo además que la densidad inicial de los nodos de semilla es insignificante, es decir, ρ → 0, la ecuación de autoconsistencia se convierte en
R = (1-p) (1-e-zλR) + p [1-Γ (n, zλR) Γ (n)]. (4)El primer término corresponde a la contribución de nodos simples y el segundo término corresponde a la de nodos complejos.Para identificar un punto fijo de Eq. 4, definimos f (R) = - R + (1-p) (1-e-zλR) + p [1-Γ (n, zλR) Γ (n)]. Entonces, los puntos fijos R * están dados por los ceros de f (R *) = 0. Encontramos que la solución trivial R * = 0 indica una fase libre de adopción donde la adopción no ocurre tanto para nodos simples como complejos. La fase de adopción que muestra la densidad no nula de los nodos adoptados (R> 0) aparece en el punto donde la solución trivial R * = 0 se vuelve inestable. El análisis de estabilidad lineal implica que la fase libre de adopción es estable cuando f '(0) <0 mientras que se vuelve inestable si f' (0)> 0. Por lo tanto, la transición entre la fase libre de adopción (R = 0) y la fase de adopción (R> 0) se produce en f '(0) = 0 donde f' (R) = - 1+ (1-p) (zλ) e-zλR + p (zλ) nRn-1Γ (n) e-zλR. A partir de la condición f '(0) = 0, obtenemos el punto de transición λ1 para cualquier entero positivo n,
(5)
cuando n = 1, todos los nodos son nodos simples, lo que significa que el modelo vuelve a un contagio simple ordinario, es decir, esencialmente el mismo que el modelo infectado infectado susceptible13. Por lo tanto, se recupera el umbral para el modelo de contagio simple 1 / z15. Cuando n> 1, obtenemos un factor adicional (1 - p) que corresponde a la fracción de nodos simples.
La naturaleza de la transición en λ1 está determinada por la segunda derivada de f (R). Si bien la transición es continua si f "(0) <0, se vuelve discontinua si f" (0)> 0. Aplicando esta condición a f '' (R) = - (1-p) (zλ) 2e-zλR-p (1-n + zλR) (zλ) nRn-2Γ (n) e-zλR, encontramos que f "(0) <0 para todos los valores de p if n> 2. Por lo tanto, la transición en λ1 siempre es continua si n> 2. Sin embargo, cuando n = 2, f" (0) <0 para p <0.5 yf "(0)> 0 para p> 0.5, por lo que la transición es continua si los nodos simples tienen una mayoría (p <0.5) y son discontinuos si los nodos complejos tienen una mayoría (p> 0.5). En este caso de n = 2, podemos identificar un punto tricrítico (λtc, ptc) = (2 / z, 1/2) al imponer la condición f "(0) = f '(0) = f (0) = 0 donde las líneas de transición continuas y discontinuas se encuentran. En el punto tricrítico, el tamaño del salto discontinuo para p <0.5 se reduce a cero.
En el diagrama de fase con n = 2 para redes ER con z = 10 [Fig. 2 (a)], encontramos líneas de transición continuas (discontinuas) y discontinuas (sólidas) y un punto tricrítico (λtc, ptc) = (0.2, 0.5) en el cual las dos líneas se encuentran [Fig. 2 (a)]. Para p <ptc, la transición en λ1 es continua con el comportamiento de escalado R~ (λ-λ1) β1 y el exponente β1 = 1 (derivación en Información Complementaria), el mismo que el exponente de campo medio de una percolación de enlace ordinaria15. Acercándonos al punto tricrítico, obtenemos un escalamiento diferente R~ (λ-λtc) βtc con βtc = 1/2 (derivación en Información Complementaria). Para p> ptc, la transición en λ1 se vuelve discontinua. En el recuadro de la Fig. 2 (a), se muestra la solución gráfica f (R) con respecto a R en p = ptc con λ = 0.1, 0.2, 0.3. Los ceros de f (R) corresponden al punto fijo y λ = 0.2 corresponde al punto tricrítico λtc en nuestro ejemplo con z = 10. En la fase libre de adopción, existe solo una solución trivial que es R * = 0. Cuando λ es mayor que el valor de punto tricrítico (λ> λtc), aparece una nueva solución estable en un valor distinto de cero de R * y R * = 0 la solución se vuelve inestable.
Figura 2
Diagrama de fase de un modelo de contagio generalizado con (a) n = 2 y (b) n> 2 para redes de ER con z = 10. Las líneas de transición continuas y discontinuas se indican respectivamente como líneas punteadas y sólidas, y (tri) puntos críticos son indicado por círculos llenos. La solución gráfica de f (R) en p = ptc = 1/2 y λ = 0.1, 0.2 (λtc), 0.3 se muestra en el recuadro de (a). (c) Se muestra la solución gráfica de f (R) con n = 4, p = 0,8 y λ = 0,4, 0,6, 0,723 (λ2), 0,8.
Para n> 2, además de la transición continua en λ1 con el exponente crítico β1 = 1 para todo n> 2, hay otra transición en λ (n, p) 2 que es discontinuo, indicado por una línea continua [Fig. 2 (b)]. Vale la pena observar que λ2 es mayor que λ1 para cualquier n> 2. La ubicación de λ2 puede identificarse analíticamente desde la condición f '(R *) = 0 con R * ≠ 0. Cuando n> 2, la transición continua la línea λ1 y la línea discontinua λ2 están separadas y no se encuentran. Por lo tanto, la tricriticidad a la que se unen las líneas de transición continuas y discontinuas es un comportamiento peculiar que solo se encuentra en n = 2. El tamaño del salto discontinuo en λ2 disminuye al disminuir p y se pone a cero en un punto crítico (λc, pc) indicado por un círculo relleno, en el que f "(R *) = f '(R *) = 0. Por lo tanto, la línea de transición discontinua termina en el punto crítico y no hay la segunda transición de fase cuando p <pc. En este régimen (p <pc), R aumenta gradualmente sin discontinuidad cuando aumenta λ con λ> λ1. Además, el salto discontinuo y el punto crítico pueden desaparecer a medida que n aumenta para una z dada, es decir, para z = 10, no hay una segunda transición cuando n> 7.
Cuando p> pc (n) con n> 2, la fase de adopción se separa en dos fases distintas por un límite en λ2: fases de adopción simple (R bajo) y adopción compleja (R alto). Además, la transición en λ2 tiene características híbridas que muestran discontinuidad y un comportamiento de escalamiento, R (λ2) -R~ (λ2-λ) β (n> 2) 2
con el exponente β (n> 2) 2 = 1/2 para cualquier n> 2 (derivación en Información Complementaria). Además, cuando λ se aproxima al punto crítico aparece una escala de raíz cúbica como R-R (λc) ~ (λ-λc) βc
donde βc = 1/3 (derivación en Información Complementaria). Esta es la misma escala que se encuentra en la percolación heterogénea del núcleo k46. Dicha transición de fase híbrida también conocida como transición de fase mixta se ha observado ampliamente en la percolación cooperativa en redes como la percolación de núcleo k46,50,51, la percolación de bootstrap48, la percolación de redes interdependientes52,53,54 y los procesos epidémicos cooperativos22,23,24. , 25. También se predice una transición híbrida en un modelo de cadenas de espín con interacciones de largo alcance55, desnaturalización de ADN56 y atasco57,58, y recientemente se ha observado experimentalmente en un cristal coloidal59.
Un ejemplo de cómo identificar una transición de fase se muestra en términos de la solución gráfica de f (R) con z = 10 yn = 4 en el límite ρ → 0 [Fig. 2 (c)]. Los ceros de f (R) dan los valores de punto fijo de R y su estabilidad está dada por la derivada de f (R). Primero, R permanece cero para λ <λ1. Cuando λ1 <λ <λ2, R aumenta gradualmente a medida que λ aumenta hasta la segunda transición en λ = λ2. Como λ aumenta aún más λ> λ2, una fase de adopción compleja (R ≈ 0.92) aparece repentinamente a partir de la fase de adopción simple (R ≈ 0.18). Por lo tanto, nuestro análisis predice la aparición de una doble transición que muestra una transición continua y una posterior discontinua.
Transiciones continuas, discontinuas y de doble fase
Examinamos el diagrama de fase y la fracción de nodos adoptados para dos escenarios específicos donde n = 2 [Fig. 3 (a)] yn = 4 [Fig. 3 (b)] en redes de ER con z = 10. Para n = 2, cuando p <0.5 ocurre una transición de fase continua típica en λ1 [Fig. 3 (a)]. Pero, cuando más de la mitad de los nodos siguen un contagio complejo (p> 0.5), la transición entre la fase libre de adopción y la fase de adopción se vuelve discontinua. Tal discontinuidad desaparece en un punto tricrítico en el que (λtc, ptc) = (0.2, 0.5) con z = 10. Por lo tanto, para n = 2 y variando λ hay una transición única en λ1 ya sea continua para p <ptc o discontinua para p> ptc.
Figura 3
Diagrama de fase de un modelo de contagio generalizado con (a) n = 2 y (b) n = 4 que muestra la fracción final de los nodos adoptados R. Las líneas de transición continuas y discontinuas se indican respectivamente como líneas punteadas y sólidas, y (tri) puntos críticos están indicados por círculos llenos. (c) La fracción final de los nodos adoptados R frente a λ con n = 4 para las redes ER con N = 105 yz = 10, promediados en 104 ejecuciones independientes. Las simulaciones numéricas (símbolo) y el cálculo teórico (línea) se muestran juntas. Las barras de error son más pequeñas que los símbolos.Sin embargo, para n = 4, encontramos que las líneas de transición continuas y discontinuas están separadas [Fig. 3 (b)]. Para ser específico, en un p> pc dado, la ubicación de la transición discontinua λ2 aparece en un valor λ> λ1. El tamaño del salto disminuye al disminuir p y el salto desaparece en un punto crítico (λc, pc) = (0.59, 0.71). Por lo tanto, por encima del punto crítico (p> pc), el tamaño de los nodos adoptados R cambia bruscamente de la fase de adopción simple (R bajo) a la fase de adopción compleja (R alto) en λ = λ2. Por el contrario, por debajo del punto crítico (p <pc), R cambia gradualmente sin discontinuidad, por lo que ya no existe una clara distinción entre la fase de adopción simple y la fase de adopción compleja.
Las transiciones continuas y discontinuas con n = 4 yz = 10 para p = 0.2, 0.4, 0.6 y 0.8 se muestran en la figura 3 (c). Primero notamos que la teoría (línea) y las simulaciones numéricas (símbolo) de R para redes de ER con N = 105 y 100 nodos de semilla muestran un acuerdo perfecto. Además, se resalta la marcada diferencia entre un salto discontinuo para p> pc y un aumento gradual de R para p <pc. Tenga en cuenta que la fracción de la semilla inicial no puede ser despreciable en las redes de tamaño finito simuladas mientras se vuelve asintóticamente pequeña en el límite termodinámico N → ∞.
Además, cuando p> pc, por ejemplo p = 0.8, el sistema experimenta una transición de fase doble con λ creciente: una transición continua de fase de adopción a fase de adopción simple, seguida de una siguiente transición discontinua entre la fase de adopción simple y un complejo fase de adopción. Recientemente, se han observado transiciones múltiples en un proceso de tipo de percolación en redes diseñadas de forma complicada, como redes agrupadas60 y redes interdependientes61, o con protocolos de percolación no triviales, como la percolación explosiva62,63 y la percolación asimétrica64. En este estudio, sin embargo, encontramos una doble transición en redes aleatorias simples como resultado de procesos de contagio competitivos. Vale la pena observar que en el caso límite λ = 1, nuestro modelo comparte una similitud con la percolación de núcleos k heterogéneos que también muestra una transición múltiple46.
Mecanismo de transición de doble fase y fase mixta
El mecanismo subyacente de la transición de doble fase se ilustra en la figura 4 (a), para redes ER con z = 10, n = 4 yp = 0,8. En una fase libre de adopción (λ <λ1), la mayoría de los nodos, independientemente de ser nodos de contagio simples o complejos, siguen siendo susceptibles excepto las semillas iniciales. En λ1, los nodos simples comienzan a adoptarse continuamente y el sistema se convierte en la fase de adopción simple (R bajo). A medida que aumenta λ por encima de λ1, se adoptan cada vez más nodos simples. Pero, los nodos complejos siguen siendo susceptibles hasta que λ llegue a la segunda transición λ = λ2. Por lo tanto, en la fase de adopción simple (λ1 <λ <λ2) se adoptan nodos de contagio simples, mientras que la mayoría de los nodos de contagio complejos aún son susceptibles. Como λ aumenta aún más, en la segunda transición λ = λ2 un grupo de nodos con contagio simple o complejo se adopta abruptamente. Por lo tanto, en la fase de adopción compleja (λ> λ2) la mayoría de los nodos se adoptan, lo que lleva a R. alta Nuestras simulaciones numéricas para el comportamiento de la susceptibilidad de R en el límite ρ → 0 son compatibles con una doble transición (ver Información complementaria) .Figura 4
(a) La fracción final de los nodos adoptados R en función de λ se muestra para las redes ER con N = 105, z = 10, n = 4 yp = 0,8 (p> pc). Los ejemplos de red se obtienen con los mismos parámetros pero para una red pequeña N = 103 para ilustración. Los nodos susceptibles con un contagio simple y complejo se indican con símbolos de color rojo claro y azul claro, respectivamente. Los nodos adoptados con un contagio simple y complejo se representan como rojo oscuro y azul oscuro, respectivamente. (b) Se muestra la fracción final de nodos adoptados con contagio simple Rs y contagio complejo Rc. (c) R y (d) Rs y Rc se muestran para p = 0,4 (p <pc), desapareciendo la distinción entre la fase de adopción simple y la fase de adopción compleja.La fracción final de los nodos adoptados con el contagio simple Rs y el contagio complejo Rc muestra claramente la diferencia entre la fase de adopción simple y la fase de adopción compleja, así como los diferentes mecanismos que conducen a estas dos transiciones [Fig. 4 (b)]. En la fase de adopción simple, algunos de los nodos simples se adoptan pero los nodos complejos permanecen susceptibles de modo que Rc permanece en cero y Rs tiene un valor finito. Sin embargo, en la fase de adopción compleja, se adoptan ambos tipos de nodos, de modo que tanto Rs como Rc muestran un valor alto después de un salto discontinuo en λ2. Tenga en cuenta que el máximo de Rs es 0.2 y el de Rc es 0.8 porque p = 0.8 en este ejemplo.
Cuando p <pc, la transición discontinua desaparece y existe una única transición continua en λ1 [Fig. 4 (c)]. Como ejemplo, para p = 0.4 que es menor que pc = 0.71, tanto los nodos simples como los nodos complejos comienzan a adoptarse en λ1. Y la fracción de nodos adoptados con Rs simple y la adopción compleja de Rc aumenta gradualmente [Fig. 4 (d)]. En la ilustración de red para λ = 0.4 [Fig. 4 (c)], podemos observar simultáneamente nodos simples y nodos complejos que están en el estado adoptado. En esta fase mixta, los nodos simples y complejos están estrechamente interrelacionados y ya no es posible distinguir claramente entre una fase de adopción simple y una compleja.
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