Filadelfia detectó su primer caso de una cepa de influenza mortal y de propagación rápida el 17 de septiembre de 1918. Al día siguiente, en un intento por detener la propagación del virus, los funcionarios de la ciudad lanzaron una campaña contra la tos, el escupir y estornudar en público. Sin embargo, 10 días después, a pesar de la posibilidad de una epidemia en su puerta, la ciudad organizó un desfile al que asistieron 200,000 personas.
Los casos de gripe continuaron aumentando hasta que finalmente, el 3 de octubre, las escuelas, iglesias, teatros y espacios de reunión pública fueron cerrados. Solo dos semanas después del primer caso reportado, hubo al menos 20,000 más.
La gripe de 1918, también conocida como gripe española, duró hasta 1920 y se considera la pandemia más mortal de la historia moderna. Hoy, mientras el mundo se detiene en respuesta al coronavirus, los científicos e historiadores están estudiando el brote de 1918 en busca de pistas sobre la forma más efectiva de detener una pandemia global. Los esfuerzos implementados para detener la propagación de la gripe en ciudades de todo Estados Unidos, y los resultados, pueden ofrecer lecciones para luchar contra la crisis actual. (Obtenga los últimos datos e información sobre COVID-19.)
Desde su primer caso conocido en los Estados Unidos, en una base militar de Kansas en marzo de 1918, la gripe se extendió por todo el país. Poco después de que se implementaron medidas de salud en Filadelfia, apareció un caso en St. Louis. Dos días después, la ciudad cerró la mayoría de las reuniones públicas y las víctimas en cuarentena en sus hogares. Los casos se ralentizaron. Al final de la pandemia, entre 50 y 100 millones de personas habían muerto en todo el mundo, incluidos más de 500,000 estadounidenses, pero la tasa de mortalidad en St. Louis era menos de la mitad que en Filadelfia. Las muertes debidas al virus se estimaron en alrededor de 358 personas por cada 100,000 en St Louis, en comparación con las 748 por 100,000 en Filadelfia durante los primeros seis meses, el período más mortal, de la pandemia.
Los cambios demográficos dramáticos en el siglo pasado han hecho que contener una pandemia sea cada vez más difícil. El aumento de la globalización, la urbanización y las ciudades más grandes y más densamente pobladas pueden facilitar la propagación de un virus en un continente en unas pocas horas, mientras que las herramientas disponibles para responder se han mantenido casi iguales. Ahora como entonces, las intervenciones de salud pública son la primera línea de defensa contra una epidemia en ausencia de una vacuna. Estas medidas incluyen el cierre de escuelas, tiendas y restaurantes; imponer restricciones al transporte; ordenando el distanciamiento social y prohibiendo las reuniones públicas. (Así es como los grupos pequeños pueden salvar vidas durante una pandemia).
Por supuesto, lograr que los ciudadanos cumplan con esas órdenes es otra historia: en 1918, un oficial de salud de San Francisco le disparó a tres personas cuando uno se negó a usar una máscara facial obligatoria. En Arizona, la policía entregó multas de $ 10 para aquellos atrapados sin el equipo de protección. Pero eventualmente, las medidas más drásticas y radicales dieron resultado. Después de implementar una multitud de cierres y controles estrictos en las reuniones públicas, St. Louis, San Francisco, Milwaukee y Kansas City respondieron con mayor rapidez y eficacia: las intervenciones allí fueron acreditadas con la reducción de las tasas de transmisión en un 30 a 50 por ciento. La ciudad de Nueva York, que reaccionó antes a la crisis con cuarentenas obligatorias y horarios comerciales escalonados, experimentó la tasa de mortalidad más baja en la costa este.
En 2007, un estudio en el Journal of the American Medial Association analizó datos de salud del censo de EE. UU. que experimentó la pandemia de 1918, y trazó las tasas de mortalidad de 43 ciudades de EE. UU. e e mismo año, dos estudios publicados en las Actas de la Academia Nacional de Ciencias intentaron comprender cómo las respuestas influyeron en la propagación de la enfermedad en diferentes ciudades. Al comparar las tasas de mortalidad, el tiempo y las intervenciones de salud pública, descubrieron que las tasas de mortalidad eran alrededor de un 50 por ciento más bajas en las ciudades que implementaron medidas preventivas desde el principio, en comparación con las que lo hicieron tarde o no. Los esfuerzos más efectivos habían cerrado simultáneamente escuelas, iglesias y teatros y prohibido las reuniones públicas. Esto permitiría tiempo para el desarrollo de la vacuna (aunque una vacuna contra la gripe no se usó hasta la década de 1940) y disminuyó la tensión en los sistemas de atención médica.
Los estudios llegaron a otra conclusión importante: que las medidas de intervención relajantes demasiado pronto podrían provocar una recaída en una ciudad estabilizada. St. Louis, por ejemplo, estaba tan envalentonado por su baja tasa de mortalidad que la ciudad levantó las restricciones a las reuniones públicas menos de dos meses después del comienzo del brote. Una erupción de nuevos casos pronto siguió. De las ciudades que mantuvieron las intervenciones en su lugar, ninguna experimentó una segunda ola de altas tasas de mortalidad. (Vea fotos que capturan un mundo en pausa por coronavirus).
En 1918, según los estudios, la clave para aplanar la curva fue el distanciamiento social. Y eso probablemente sigue siendo cierto un siglo después, en la batalla actual contra el coronavirus. "[T] aquí hay un tesoro invaluable de datos históricos útiles que recién se ha comenzado a utilizar para informar nuestras acciones", escribió el epidemiólogo de la Universidad de Columbia Stephen S. Morse en un análisis de los datos. "Las lecciones de 1918, si están bien atendidas, podrían ayudarnos a evitar repetir la misma historia hoy".
Mario Lucas Kiektik Sullivan describe nuestro trabajo "Actores y poder en el Cabildo del Buenos Aires, 1776-1810: una contribución desde el análisis de redes sociales" publicado en la Revista Brasileira de Historia. ¡Muchas gracias Mario!
La diversidad genera innovación y se argumenta que la innovación facilita las carreras. Sin embargo, los grupos subrepresentados que diversifican las organizaciones tienen carreras menos exitosas dentro de ellos. Nos propusimos identificar la paradoja de la diversidad-innovación en la ciencia y explicar por qué surge. Al analizar los datos de casi todos los beneficiarios de doctorados de EE. UU. y sus disertaciones a lo largo de tres décadas, descubrimos que los estudiantes con baja representación demográfica innovan a tasas más altas que los estudiantes de la mayoría, pero sus contribuciones novedosas tienen un descuento y es menos probable que obtengan puestos académicos. El descuento de las innovaciones de las minorías puede explicar en parte su poca representación en posiciones influyentes de la academia.
¿Qué son las innovaciones científicas?
Las innovaciones son nuevas combinaciones de terminología científica. A continuación se presentan estudiosos seleccionados a mano importantes para sus campos académicos y sus innovaciones. Observamos, por ejemplo, que Lilian Bruch fue el primer receptor de doctorado en escribir sobre el vínculo (ahora dado por sentado) entre el VIH y los primates no humanos en las tesis doctorales de los Estados Unidos. Otros eruditos luego adoptaron esa idea.
¿Quien innova?
Descubrimos que las mujeres, no blancas, y aquellas que son académicas con baja representación racial o de género en su campo, innovan a tasas más altas que los académicos de hombres, blancos y mayoritarios.
¿Quién cosecha los beneficios de innovar?
La tasa de innovación se corresponde positivamente con carreras académicas exitosas. Sin embargo, el "beneficio de la innovación" para las carreras académicas es menor para los grupos de género y racialmente subrepresentados. A niveles bajos de innovación, las posibilidades de carreras académicas son similares en todos los grupos, pero a niveles más altos de innovación, las carreras científicas de los grupos subrepresentados avanzan menos que las de los grupos mayoritarios (ver figura a la derecha). Para dar una idea de la magnitud de la devaluación: dos desviaciones estándar del nivel mediático de la innovación impactante, la diferencia relativa en convertirse en facultad de investigación entre los académicos subrepresentados por género en comparación con los académicos sobrerrepresentados por género aumenta a aproximadamente un 15%.
¿De quién son las innovaciones utilizadas?
Las innovaciones académicas de mujeres, no blancas y de género y racialmente subrepresentadas se utilizan a tasas ligeramente más bajas. Entonces, las personas que diversifican las organizaciones innovan y tienen nuevas ideas, pero sus innovaciones e ideas se devalúan. Esta devaluación se explica en parte por los géneros subrepresentados en los campos que innovan al unir ideas más distales en formas menos obvias.
Esta es la segunda publicación de la serie "Modelado de epidemias". Desarrollaremos nuestra discusión desde la primera publicación, "Modelación Epidemiólogica 101: O por qué sus ajustes exponenciales de CoVID-19 son incorrectos", por lo que es posible que desee comenzar a leer allí. Puede encontrar los cuadernos que escribí para implementar los modelos y generar las figuras en el repositorio de GitHub que hice específicamente para esta serie:
Lo que sigue es mi perspectiva personal, como individuo con cierta experiencia en el mundo real en modelos epidémicos durante pandemias anteriores y no debería reflexionar sobre ningún grupo o institución con la que pueda estar afiliado.
Entonces, sin más preámbulos ...
Modelos vs el mundo real
Como dijo George E. P. Box, un estadístico, "todos los modelos están equivocados, pero algunos son útiles". Quizás esto nunca sea más cierto que durante una crisis. La información es limitada, a menudo incorrecta, pero las decisiones deben tomarse e implementarse en función de lo que se conoce en ese momento.
También es durante una crisis en curso que los modelos juegan su papel más fundamental, el de permitirnos explorar escenarios y trabajar a través de las consecuencias de nuestras decisiones:
Sin embargo, se debe tener cuidado para evitar confundir el modelo con la realidad. Después de todo, "el mapa no es el territorio". El desarrollo de un modelo, independientemente del dominio de aplicación, generalmente sigue un patrón común:
Se crea una versión simplificada del mundo, a la que se puede aplicar un enfoque de modelado específico, lo que resulta en un modelo de trabajo. Las simplificaciones realizadas pueden deberse a una variedad de factores como la falta de datos específicos, la complejidad excesiva, la intratabilidad, entre otros. El enfoque de modelado elegido está influenciado y ayuda a impulsar las suposiciones que se hacen, lo que a menudo resulta en la sobreabundancia estereotípica de los físicos preocupados por las Vacas Esféricas o tratando de aplicar Ising Spins a todos los problemas posibles.
Una vez que se obtiene un modelo de trabajo, podemos usarlo para explorar escenarios, las consecuencias de decisiones específicas, etc. Finalmente, al estudiar los escenarios generados por nuestros modelos, las decisiones se toman en el mundo real. Gráficamente tenemos:
Naturalmente, esta es una vista simplificada y esquemática (y un modelo en sí mismo) para ayudar a ilustrar los diversos puntos en los que nuestros esfuerzos de modelado pueden salir mal, lo que hace que los resultados de nuestros modelos difieran de lo que realmente observamos en el mundo real .
Si bien en muchos casos, los desajustes entre el modelo y la realidad se remontan a errores cometidos durante el proceso, también pueden deberse al hecho de que nuestro modelo fue exitoso y resultó en la adopción de medidas apropiadas para evitar los escenarios indeseables que predijo . Esto es especialmente cierto en el caso de modelos altamente visibles que se utilizan para guiar las decisiones e intervenciones gubernamentales, como en el caso de una pandemia en curso como la que estamos viviendo ahora:
“La función más importante de los modelos epidemiológicos es la simulación, una forma de ver nuestro futuro potencial con anticipación y cómo interactúa con las elecciones que hacemos hoy. Con los modelos COVID-19, tenemos un objetivo simple y urgente: ignorar todas las ramas optimistas y ese tronco grueso en el medio que representa los resultados más probables. En cambio, debemos centrarnos en las ramas que representan los peores resultados y podarlas con todas nuestras fuerzas. El aislamiento social reduce la transmisión y ralentiza la propagación de la enfermedad. Al hacerlo, corta ramas que representan algunos de los peores futuros. El rastreo de contactos atrapa a las personas antes de que infecten a otros, podando más ramas que representan catástrofes no controladas ". - Zeynep Tufecki, The Atlantic
Es este tipo de malentendido lo que lleva a la desconfianza pública en los modelos científicos en particular y en la Ciencia en general.
Espero que esto (y muchas otras publicaciones) pueda ayudar al público en general a comprender las suposiciones, el poder y las limitaciones subyacentes de los modelos científicos y cómo se les puede dar un buen uso.
Modelo Susceptible-Infeccioso-Recuperado (SIR)
Ahora que hemos establecido las ventajas y limitaciones de usar modelos para comprender el mundo, podemos comenzar a explorar cómo mejorar los modelos simples que presentamos en la publicación anterior.
Modelo SIR
El modelo SIR es uno de los modelos epidémicos más simples y conocidos. Su popularidad se debe, en gran parte, a su capacidad para establecer un equilibrio perfecto entre simplicidad y utilidad. Todavía es relativamente susceptible de exploración matemática y analítica, mientras que al mismo tiempo es capaz de capturar las características fundamentales del proceso epidémico: las personas sanas (susceptibles) se infectan cuando entran en contacto con individuos infecciosos solo para finalmente recuperarse después de un cierto período de tiempo El proceso se ilustra esquemáticamente en la figura en la parte superior de esta sección.
Este modelo se puede escribir matemáticamente usando un conjunto simple de ecuaciones diferenciales parciales:
Modelo Susceptible-Infeccioso-Recuperado
Que se puede integrar numéricamente para obtener los valores de cada compartimento en función del tiempo, tal como se hizo en la publicación de blog anterior:
Fracción de la población en cada compartimento en función del tiempo.
Si bien este tipo de ecuaciones puede ser útil para explorar resultados analíticos para modelos simples como el modelo SIR, rápidamente se vuelven difíciles de manejar para modelos más complejos. Sin embargo, es fácil notar cómo tienen una correspondencia biunívoca con la ilustración de arriba:
Las interacciones corresponden a términos que involucran dos compartimentos y el número total de individuos en la población:
Término de interacción
Si bien las transiciones espontáneas corresponden a términos que involucran un solo compartimento:
Término espontáneo
El signo de cada término está determinado por si la ecuación que estamos considerando corresponde a los compartimentos "fuente" u "objetivo". En particular, los compartimentos de "agente" no se ven afectados a menos que también sean "objetivos".
Esta correspondencia uno a uno entre las transiciones y los términos nos permite simplemente "elaborar" modelos arbitrariamente complejos que pueden implementarse trivialmente usando código genérico (como el de EpiModel.py) sin tener que escribir y depurar todas las reglas " a mano ".
En el resto de la discusión, nos centraremos en discutir los supuestos y detalles de los diversos modelos, evitando en la medida de lo posible el uso de expresiones matemáticas complejas.
Período de incubación
Una de las principales limitaciones del modelo SIR es el hecho de que la infección se desarrolla instantáneamente sin ningún período de incubación. Recordará por noticias recientes que este no es un escenario muy realista y que la incubación o el período latente es uno de los factores más importantes que deben entenderse para contener una epidemia: durante cuánto tiempo debe mantenerse bajo vigilancia un caso sospechoso hasta que podamos estar seguros de que la persona no se infectará?
Podemos abordar esta limitación agregando un paso adicional (compartimento) a nuestro modelo epidémico: el compartimento expuesto (o latente). Cuando una persona susceptible entra en contacto con una persona infecciosa, él / ella se traslada a la zona expuesta, desde la cual pasa al compartimento infeccioso a una velocidad fija ε. Mientras que en el compartimento expuesto se dice que la persona está "incubando" la enfermedad, posiblemente incluso comienza a desarrollar síntomas, pero aún no puede infectar a otras personas. El modelo resultante se conoce como el modelo Susceptible-Expuesto-Infeccioso-Recuperado (SEIR):
Modelo SEIR
Aquí tenemos 4 compartimentos distintos conectados por una transición interactiva y dos espontáneas:
Transiciones SEIR
Y la evolución de los diversos compartimentos es simplemente:
Aquí destacamos que la adición del compartimento adicional no modificó el número total de personas que se infectaron, pero tiene un fuerte impacto en la evolución temporal de la epidemia, retrasando significativamente y ampliando el pico de casos infecciosos. Efectivamente "aplana" la curva:
Comparación de picos epidémicos entre los modelos SIR y SEIR.
Debe quedar claro cómo esto tiene un impacto directo en la probabilidad de que el sistema de salud se vea abrumado y la duración necesaria de cualquier medida de cuarentena impuesta: un pico más bajo reduce el estrés en el sistema de salud, mientras que una duración más larga implica un período social más prolongado. El distanciamiento es necesario.
Inmunidad Temporal
Otra suposición fundamental que subyace en el modelo SIR es la idea de que las personas recuperadas son inmunes permanentemente a la enfermedad. Si bien este es el caso con muchas enfermedades comunes, ha habido algunos informes de pacientes con CoVID-19 reinfectados después de la recuperación.
La reinfección en un período de tiempo tan corto es poco probable (incluso la inmunidad temporal generalmente dura unos pocos meses o años) y es más probable que estos casos se deban a pruebas defectuosas, pero ciertamente es una posibilidad que debe considerarse.
Simplemente agregando una transición espontánea desde el compartimento Recuperado de regreso al compartimento Susceptible, obtenemos los SEIRS (¿puedes adivinar qué significan las letras? 😀): Modelo SEIRS
Esta adición aparentemente inocua al modelo tiene un efecto muy importante.Al permitir que los individuos recuperados se vuelvan susceptibles una vez más, reponemos al grupo de personas que una vez más pueden infectarse.El resultado final es que la epidemia nunca se agota (su combustible nunca se agota) y la enfermedad se vuelve endémica, ¡y una fracción constante de la población permanece infectada!
Estado final endémico del modelo SEIRS
La tasa ρ a la que se pierde la inmunidad tiene un efecto determinante en el progreso de la epidemia y el aumento de la endemicidad. Si ρ es suficientemente pequeño (la inmunidad es más duradera), incluso podemos tener varios picos epidémicos antes de alcanzar el estado estable de una fracción fija de la población.
Población expuesta e infecciosa en el modelo SEIRS
La aparición del pico se debe al hecho de que la inmunidad temporal que brinda la enfermedad es lo suficientemente larga como para permitir que la epidemia siga la mayor parte de su curso antes de que el número de Susceptibles comience a aumentar nuevamente, agregando combustible al fuego.
Casos asintomáticos
En muchas enfermedades, una fracción significativa de individuos infectados permanece asintomática durante el curso de la enfermedad.En el caso de la influenza estacional, este número generalmente es de alrededor del 33%, mientras que para CoVID19 se cree que el número es del 40% o más, lo que sesga significativamente el número total de casos.
Los individuos asintomáticos a menudo son menos infecciosos que aquellos que presentan síntomas en alguna fracción rᵦ.Podemos modelar su efecto dividiendo el compartimento infeccioso en dos: un sintomático, Is, y un asintomático, Ia.Una fracción pₐ de todos los expuestos se vuelve asintomática mientras que el resto (1-pₐ) desarrolla síntomas.Nuestro modelo es entonces:
Como ahora tenemos dos compartimentos infecciosos, también debemos rehacer nuestro cálculo de Rₒ. Afortunadamente, la modificación es simple: dado que hemos dividido el compartimento infeccioso original en dos, nuestro valor de β es simplemente el promedio ponderado del original y el β reducido.
Podemos verificar fácilmente que si rᵦ es 1 recuperamos el valor SIR original, mientras que si rᵦ es 0 (el asintomático y completamente no infeccioso) reducimos el Rₒ original en un factor de (1-pₐ) ya que efectivamente tenemos mucho población infecciosa más pequeña.
Para mantener el mismo valor de Rₒ simplemente calculamos el valor de β como:
Este enfoque facilita la comparación de los resultados de ambos modelos, ya que ambos tienen el mismo valor de Rₒ.
A medida que agregamos más y más compartimentos a nuestros modelos, la población de cada compartimento individual se hace más pequeña.
Estructura compartimental del modelo sintomático / asintomático
Podemos verificar fácilmente que el valor de Rₒ sigue siendo el mismo que antes observando las curvas recuperadas y susceptibles al final de la epidemia. Por otro lado, ahora tenemos 3 compartimentos infectados distintos, 2 de los cuales son infecciosos y pico al mismo tiempo y unos días después de la población expuesta:
Comparación de picos entre los tres compartimentos infectados
Aquí debemos tener en cuenta que decidimos explícitamente mantener la tasa de recuperación, μ para individuos sintomáticos y asintomáticos. Si los hubiéramos elegido para ser diferentes, los picos ocurrirían en diferentes momentos y la expresión para Rₒ tendría que revisarse aún más.
Tasa de mortalidad
Finalmente, observamos el efecto de considerar explícitamente la mortalidad. Suponemos que solo los casos sintomáticos mueren por la enfermedad o, de manera similar, que cualquier individuo asintomático que muera por la enfermedad no se cuenta como tal. Si suponemos que una fracción pd de casos sintomáticos termina muriendo, nuestro modelo se convierte en:
Por lo tanto, ahora tenemos 6 compartimentos y un total de 7 transiciones y 6 parámetros, que indican cómo cuantos más detalles incluimos, más complejo se vuelve el modelo y se deben especificar más parámetros. En los primeros días de una epidemia, la mayoría, si no todos, de estos parámetros son parcial o completamente desconocidos. A medida que avanza la epidemia, se recopila cada vez más información y se pueden utilizar modelos más detallados. Este refinamiento constante también ayuda a mejorar la confiabilidad de los escenarios que podemos analizar y las decisiones tomadas.
Si suponemos que el 10% de los casos sintomáticos finalmente mueren, tenemos:
Cabe señalar que la tasa de mortalidad del 10% es enorme y poco realista para el tipo de enfermedades que estamos considerando. La razón por la que elegimos un número tan grande es para hacer que los efectos sean obvios al trazar.
Al incluir la posibilidad de muerte, el número de individuos recuperados se reduce naturalmente, a pesar de que ninguno de los parámetros de la enfermedad ha cambiado. Si nos centramos solo en la relación entre los compartimientos más significativos que tenemos:
El número total de muertos se puede estimar fácilmente. Sabemos que para nuestro conjunto de parámetros, el 80% de la población finalmente se infecta. De ellos, el 60% son sintomáticos y de ellos, el 10% finalmente muere, por lo que esperamos que el número total de casos fatales sea del 4,8%, como se muestra en la gráfica anterior.
Este valor es significativamente menor que la tasa de mortalidad real para los casos sintomáticos. Esto se debe al hecho de que el número de casos recuperados se infla por los casos asintomáticos más leves.
En las últimas semanas, una terrible aflicción se ha extendido por todo el mundo. De lo contrario, los miembros sanos y productivos de la sociedad se han infectado con esta enfermedad devastadora que hace que enciendan Excel, Python o R y comiencen a extrapolar los últimos números de casos confirmados de CoVID19 en su ciudad, estado, país o incluso en todo el mundo.
Bromas aparte, la severidad de la epidemia actual de SARS-CoV-2 es innegable y es natural que las personas lidien con el estrés adicional en sus vidas (y el tiempo libre adicional debido a los procedimientos de cierre) de varias maneras.
Una demografía particularmente afectada ha sido la mía, la de los físicos, lo que ha dado lugar al surgimiento de una pequeña industria artesanal de publicaciones de blog, publicaciones de LinkedIn e incluso documentos de arXiv con sus mejores intentos de modelar la propagación de la enfermedad, con poca o ninguna comprensión de dinámica subyacente a la propagación de epidemias.
Invariablemente, nuestros intrépidos seguidores de John Snow (no en el que estás pensando) terminan con alguna variación de esta trama que compara el número acumulado de casos o muertes en varios países en función del tiempo con una tasa de crecimiento exponencial directa.
Se producen extrapolaciones a números poco realistas, pronósticos sobre cuándo un país podría superar a otro, consideraciones sobre el éxito o el fracaso de las medidas de contención y varias otras travesuras.
Llevar el orden a un mundo caótico siempre ha sido la fuerza impulsora del progreso humano y se puede argumentar que esta es simplemente su última encarnación: los Numerati intentan usar sus habilidades de modelado y ciencia de datos para dar sentido al mundo que los rodea. Una tendencia que ha llevado en los últimos años a un progreso impresionante en el aprendizaje automático, la inteligencia artificial y la ciencia de datos. Desafortunadamente, si bien existen buenas razones para esperar que las primeras etapas de la propagación de la epidemia sean exponenciales, existen muchos factores prácticos que conspiran contra la eficacia del ajuste de curva simple y un poco de conocimiento previo sobre el modelo de epidemia tradicional puede ser muy útil.
Lo que sigue es mi perspectiva personal, como individuo con cierta experiencia en el mundo real en modelos epidémicos durante pandemias anteriores y no debería reflexionar sobre ningún grupo o institución con la que pueda estar afiliado.
Modelos compartimentales
El modelado matemático en Epidemiología tiene una historia larga y rica, que data de la década de 1920 con la teoría de Kermack-McKendrick. La idea básica es engañosamente simple: podemos dividir a la población en diferentes compartimentos que representan las diferentes etapas de la enfermedad y usar el tamaño relativo de cada compartimento para modelar cómo evolucionan los números en el tiempo.
En la discusión a continuación, presento varios modelos y escenarios simples para ayudar a ilustrar los problemas simplemente tratando de hacer un ajuste de curva en los números empíricos. Puede encontrar el cuaderno que escribí para implementar los modelos y generar las figuras en el repositorio de GitHub que hice específicamente para esta publicación:
Comencemos por echar un vistazo al modelo de epidemia más simple posible: el modelo de infección susceptible. Aquí dividimos nuestra población en dos compartimentos, el compartimento sano (generalmente denominado Susceptible) y el compartimento Infeccioso. La dinámica también es simple, cuando una persona sana entra en contacto con una persona infecciosa se infecta con una probabilidad dada. Y, en este simple ejemplo, cuando estás infectado, permaneces infectado para siempre. Matemáticamente, esto a menudo se escribe como:
Descripción matemática del modelo de infección susceptible
lo cual es una manera elegante de decir que la pérdida en el número de personas sanas es la misma que la ganancia en las filas de los infectados. Más específicamente:
N es simplemente el tamaño total de la población
β es la tasa de infección
It / N es la fracción de personas infectadas y representa la probabilidad de que una persona susceptible se encuentre con una infectada.
No es sorprendente que este no sea un modelo muy interesante: dado el tiempo suficiente, todos se infectan:
Fracción infecciosa de la población total en función del tiempo.
Este modelo simple considera solo una forma de transición entre compartimentos: de S a I a través de la interacción (contacto) entre S e I. Una forma compacta de representar esto es:
La transición en el modelo SI
Modelo SIR
Se pueden desarrollar modelos epidémicos más realistas agregando más compartimentos y transiciones. El modelo más común es el modelo Susceptible-Infeccioso-Recuperado:
Modelo SIR
Aquí tenemos un nuevo compartimento, Recuperado, que representa a las personas que han tenido la enfermedad en el pasado y que desde entonces se han recuperado y se han vuelto inmunes. La presencia de Recuperado reduce lentamente la cantidad de individuos infecciosos a medida que se les permite recuperarse.
En términos de transiciones, esto se puede escribir como:
Las transiciones en el modelo SIR
Donde la segunda línea representa una transición espontánea (no interactiva) de Infecciosa a Recuperada a una tasa fija μ.
O, matemáticamente, como:
Modelo Susceptible-Infeccioso-Recuperado
lo que deja en claro que el crecimiento en el número de recuperados depende solo del número actual de individuos infecciosos. También se debe tener en cuenta que este modelo implica un tamaño de población constante:
Población total fija
También se podría escribir una expresión similar para el modelo SI.
Si ahora integramos el modelo SIR completo, encontramos:
Fracción de la población en cada compartimento en función del tiempo.
Se deben notar algunas cosas sobre esta trama:
El número de individuos Susceptibles solo puede disminuir
El número de Recuperados solo puede aumentar
El número de individuos Infecciosos crece hasta cierto punto antes de alcanzar un pico y comenzar a disminuir.
La mayoría de la población se infecta y finalmente se recupera.
Si nos acercamos solo al comportamiento del compartimento infeccioso, encontramos:
Compartimento infeccioso SIR
Lo que significa que una fracción significativa de la población puede infectarse al mismo tiempo, lo que puede causar (dependiendo de la gravedad de la infección) que el sistema de salud se vea abrumado. Cuando escuche sobre “aplanar la curva”, esta es la curva a la que se refieren.
La conversación / CC BY ND
De la expresión matemática del modelo SIR anterior, se pueden obtener fácilmente algunos resultados interesantes. Si nos centramos en los primeros días de la propagación de la epidemia, podemos suponer que la fracción de individuos susceptibles todavía es ~ 1 y encontramos:
¡El exponencial que todos intentan encajar! Aquí,
se pronuncia "R nada" y es el Número de reproducción básico de la enfermedad. Este número simple define si tenemos o no una epidemia. Si Rₒ <1 la enfermedad muere, de lo contrario, ¡crece exponencialmente!
Una forma intuitiva de interpretar el Rₒ es el número promedio de nuevas infecciones producidas por un solo individuo infeccioso. Si una persona puede transmitir la enfermedad al menos a otra antes de recuperarse, la epidemia puede continuar; de lo contrario, desaparecerá.
Esto es lo que necesitamos determinar y depende de muchos factores
diferentes que son característicos del virus, como Kate Winslet lo
describió elocuentemente en la película de 2011, Contagion (ver abajo).
Las mejores estimaciones actuales del valor Rₒ para el SARS-CoV-2, el coronavirus que causa el CoVID-19, es de alrededor de 2.5.
El valor de Rₒ también juega un papel fundamental en la determinación del curso de la epidemia. Si consideramos la segunda ecuación que describe el modelo SIR:
Encontramos que la derivada del número de infecciosos se vuelve negativa siempre que:
Este es el punto en el que hemos alcanzado el pico y la epidemia comienza a desaparecer. Este es el punto en el que la población comienza a tener suficiente de lo que se conoce como inmunidad colectiva para que la enfermedad no pueda propagarse más. Siempre que haya vacunas disponibles, los programas de vacunación están diseñados para ayudar a la población a alcanzar la inmunidad del rebaño sin tener que infectar a una fracción significativa de la población.
Rₒ también determina la fracción final de toda la población que no se verá afectada por la enfermedad:
Donde se refiere a la fracción total de individuos sanos (y nunca infectados) después de que la epidemia haya tenido tiempo de seguir su curso por completo. Esta expresión no es susceptible de solución de forma cerrada, pero se puede usar para estimar numéricamente el valor de . La figura SIR anterior se generó usando Rₒ = 2 y vemos que ~ 0.2, que se puede verificar fácilmente conectando estos números en esta expresión.
Consideraciones prácticas
Hasta ahora, nuestro análisis de modelos epidémicos se ha centrado en el escenario ideal que parece justificar el enfoque de ajustar curvas exponenciales como una forma simple de tratar de pronosticar el curso de la epidemia. Desafortunadamente, el mundo real es significativamente más complejo en una variedad de formas.
Casos asintomáticos y levemente infecciosos.
Una de las limitaciones del enfoque descrito hasta ahora es que hace algunas suposiciones poco realistas:
No hay incubación ni período de latencia. Un período de incubación retrasa toda la línea de tiempo de la epidemia. Un problema que no es significativo para nuestros propósitos aquí.
Hay un solo tipo de individuo infeccioso. En el mundo real, los diferentes sistemas inmunes responden de manera diferente al virus, lo que hace que algunas personas sean completamente asintomáticas (sin síntomas) y casos levemente infecciosos. En el caso de CoVID-19, se cree que el número de casos asintomáticos es del 40% o más.
Ambas dificultades pueden abordarse agregando nuevos compartimentos y transiciones a nuestro modelo SIR básico sin mucha dificultad. Sin embargo, plantean desafíos importantes cuando se trata de los números oficiales publicados.
En los primeros días de la epidemia, solo los casos más graves (no asintomáticos y no leves) se enferman lo suficiente como para buscar ayuda médica y ser diagnosticados oficialmente. Naturalmente, esto lleva a un retraso en la detección de los primeros casos en una ciudad o país dado y una sobreestimación de la gravedad de la enfermedad, ya que los casos más graves tienen más probabilidades de morir.
Los números publicados también suelen ser acumulativos, lo que hace que los números totales parezcan más grandes. Una manera simple de extraer una medida del número de posibles casos confirmados de nuestro modelo SIR simple es contar cuántas personas han sido retiradas del compartimiento Susceptible. Al definir ϕ como la fracción de casos infecciosos que se hacen la prueba, tenemos:
Casos confirmados
Como resultado, los números que se publican dependen directamente de la fracción de casos que son lo suficientemente graves como para llevar atención médica y ser evaluados:
Casos confirmados en el modelo SIR
El número de individuos recuperados (observados) seguirá una trayectoria similar, aunque con unos pocos días de retraso debido a la línea de tiempo natural de la enfermedad:
Número de casos recuperados observados
Naturalmente, con enfermedades nuevas lleva tiempo desarrollar y distribuir pruebas precisas. Si consideramos además que la fracción de prueba ϕ también depende del tiempo, entonces es fácil ver cómo muchas de las características observadas en la línea de tiempo de casos confirmados son causadas por políticas locales y disponibilidad de pruebas:
Efecto de la tasa de prueba dependiente del tiempo
En esta figura comparamos el número de casos infecciosos reales (en morado), el resultado de una prueba uniforme (línea naranja discontinua) y las tasas de prueba dinámicas (línea naranja continua). Para mayor claridad, trazamos las diferentes curvas en una escala logarítmica (el cambio de una línea de rejilla horizontal a la siguiente corresponde a un factor de 10x) e incluimos una línea de ajuste exponencial (delgada línea azul) como guía para el ojo que representa el tendencia exponencial general.
Retrasos dinámicos
Otro factor importante a considerar es la evolución temporal que es intrínseca a la progresión de la enfermedad. Un individuo sano entra en contacto con una persona infecciosa y se infecta. Su infección durará un número específico de días, lo que significa que el número actual de individuos infecciosos es la suma de todos los que se infectaron hoy, ayer, el día anterior, etc.… y aún no ha tenido tiempo de recuperarse.
Esto implica que existe un retraso natural entre el pico de nuevas infecciones y el pico en el número total de individuos infecciosos que es proporcional a la duración del período infeccioso.
Retraso entre el pico en nuevas infecciones y el número de individuos con infecciones actuales
Una consecuencia importante de este retraso es que incluso si el número de nuevas infecciones hoy es menor que ayer y el día anterior, pasarán varios días antes de que los efectos sean notables como una reducción en el número total de casos infectados.
Procedimientos de encierro
A medida que la epidemia ha progresado, muchos países de todo el mundo, comenzando con China, han tratado de implementar procedimientos de bloqueo o cuarentena para tratar de contener la propagación de la enfermedad. Estas medidas han demostrado ser impopulares con el público debido a sus consecuencias sociales y económicas, por lo que es importante comprender el efecto que tienen en detener la propagación de la epidemia.
Imaginemos el escenario de contención perfecto. Agito una varita mágica y cada uno se queda en casa, exactamente a 6 pies de distancia el uno del otro en todo momento y no se pueden generar nuevas infecciones. En nuestro marco SIR, esto corresponde a establecer repentinamente Rₒ = 0 o simplemente eliminar la transición de interacción del modelo. Los resultados son asombrosos:
Estrategia de contención perfecta. La estrategia se implementa en el momento indicado por la línea discontinua vertical y se mantiene el tiempo que sea necesario para que el número de individuos infecciosos llegue a cero.
Si bien no se generan nuevas infecciones, el número total de individuos infectados sigue siendo alto durante varias semanas a medida que las personas actualmente afectadas se recuperan gradualmente de la enfermedad.
Naturalmente, ninguna estrategia de contención es perfecta, pero digamos que hacemos un trabajo bastante bueno y en lugar de llevar el Rₒ a 0 logramos llevarlo a 0.5. Como hemos mostrado anteriormente, cada vez que Rₒ <1 la epidemia comienza a desaparecer, pero lleva mucho más tiempo que en el escenario ideal y da como resultado un mayor número de infecciones totales:
Estrategia de contención imperfecta. La estrategia se implementa en el momento indicado por la línea vertical y se mantiene durante el tiempo que sea necesario para que el número de infectados llegue a cero. Las líneas continuas finas corresponden al escenario perfecto anterior y se muestran para comparación.
Sin embargo, si, por alguna razón, los costos sociales o económicos del bloqueo se consideran demasiado costosos y la cuarentena se levanta prematuramente, simplemente volvemos al escenario anterior de propagación de epidemia sin restricciones:
Estrategia de contención imperfecta. La estrategia se implementa en el momento indicado por el área sombreada vertical. Las líneas continuas discontinuas y finas corresponden a los escenarios de bloqueo imperfecto y sin intervención, respectivamente, y se muestran para comparación.
Como podemos ver, un cierre prematuro roto rápidamente da como resultado una segunda ola de la epidemia que conduce a casi tantos casos totales como si no hubiera habido intervención alguna. Sin embargo, todavía tiene el beneficio de mantener el número máximo de personas enfermas por debajo de lo que normalmente sería y una "expansión" de la curva epidémica: en otras palabras, el aplanamiento de la curva que ayudará a prevenir la abrumadora atención médica sistema.
Para mayor claridad, veamos también la cantidad de casos infecciosos.
Estrategia de contención imperfecta. La estrategia se implementa en el momento indicado por el área sombreada vertical. Las líneas continuas discontinuas y finas corresponden a los escenarios de bloqueo imperfecto y sin intervención, respectivamente, y se muestran para comparación.
No le corresponde a un físico pobre como yo opinar si el cierre mundial actual vale la pena económica o socialmente. Lo mejor que puedo hacer es ayudarlo a comprender mejor sus efectos prácticos.
Poblaciones estructuradas
Esta publicación ya es extremadamente larga, pero me gustaría considerar un punto extra. Los modelos compartimentales, por su propia naturaleza, hacen simplificaciones y suposiciones significativas. Una suposición fundamental es que la población subyacente está bien mezclada: cada individuo está en contacto potencial con cualquier otro individuo. Si bien esto es claramente falso para cualquier población grande, a menudo es una aproximación suficientemente buena para el análisis cualitativo de la dinámica de la epidemia.
Sin embargo, si tratamos de extender demasiado este tipo de modelos, descubriremos rápidamente que los países y las ciudades no son poblaciones homogéneas. Los países están formados por estados, los estados están constituidos por ciudades y zonas rurales, etc.
Representación esquemática de la epidemia entre poblaciones vecinas.
Dentro de cada población, la epidemia continuará como hemos descrito anteriormente, pero cuando combinamos múltiples poblaciones, los resultados son mucho menos claros. Consideremos dos poblaciones, digamos dos ciudades vecinas. La epidemia comienza en uno de ellos y, a través de desplazamientos o viajes, eventualmente, un individuo infeccioso infectará la ciudad vecina, lo que provocará una diferencia de tiempo entre las dos poblaciones. Si tratamos ingenuamente a estas poblaciones múltiples como una sola (como cuando se observan solo los totales estatales o nacionales), la curva resultante se ve fuertemente afectada por la diferencia de tiempo entre las dos poblaciones, lo que resulta en curvas epidémicas que muestran poca o ninguna similitud con la simple ejemplos que hemos analizado hasta ahora, haciendo que cualquier momento de ajuste exponencial sea una búsqueda ociosa con poco o ningún uso práctico.
Fuentes
Si has llegado hasta aquí, felicidades. Ahora sabe más sobre el modelado epidémico que la mayoría de los intrépidos instaladores de curvas y esperamos que no cometa los mismos errores que están cometiendo.
