Epidemiología: Modelos SIR, SEIR y SEIRS

Modelación Epidemiológica 102: Todos los modelos CoVID-19 están equivocados, pero algunos son útiles

Bruno Gonçalves || Data for Science


Esta es la segunda publicación de la serie "Modelado de epidemias". Desarrollaremos nuestra discusión desde la primera publicación, "Modelación Epidemiólogica 101: O por qué sus ajustes exponenciales de CoVID-19 son incorrectos", por lo que es posible que desee comenzar a leer allí. Puede encontrar los cuadernos que escribí para implementar los modelos y generar las figuras en el repositorio de GitHub que hice específicamente para esta serie:

Enlace a Github

Lo que sigue es mi perspectiva personal, como individuo con cierta experiencia en el mundo real en modelos epidémicos durante pandemias anteriores y no debería reflexionar sobre ningún grupo o institución con la que pueda estar afiliado.

Entonces, sin más preámbulos ...

Modelos vs el mundo real

Como dijo George E. P. Box, un estadístico, "todos los modelos están equivocados, pero algunos son útiles". Quizás esto nunca sea más cierto que durante una crisis. La información es limitada, a menudo incorrecta, pero las decisiones deben tomarse e implementarse en función de lo que se conoce en ese momento.

También es durante una crisis en curso que los modelos juegan su papel más fundamental, el de permitirnos explorar escenarios y trabajar a través de las consecuencias de nuestras decisiones:



XKCD: "Recuerde, los modelos no son para contarle hechos, son para explorar dinámicas. Este modelo aparentemente explora el viaje en el tiempo ”

Sin embargo, se debe tener cuidado para evitar confundir el modelo con la realidad. Después de todo, "el mapa no es el territorio". El desarrollo de un modelo, independientemente del dominio de aplicación, generalmente sigue un patrón común:

Se crea una versión simplificada del mundo, a la que se puede aplicar un enfoque de modelado específico, lo que resulta en un modelo de trabajo. Las simplificaciones realizadas pueden deberse a una variedad de factores como la falta de datos específicos, la complejidad excesiva, la intratabilidad, entre otros. El enfoque de modelado elegido está influenciado y ayuda a impulsar las suposiciones que se hacen, lo que a menudo resulta en la sobreabundancia estereotípica de los físicos preocupados por las Vacas Esféricas o tratando de aplicar Ising Spins a todos los problemas posibles.

Una vez que se obtiene un modelo de trabajo, podemos usarlo para explorar escenarios, las consecuencias de decisiones específicas, etc. Finalmente, al estudiar los escenarios generados por nuestros modelos, las decisiones se toman en el mundo real. Gráficamente tenemos:



Naturalmente, esta es una vista simplificada y esquemática (y un modelo en sí mismo) para ayudar a ilustrar los diversos puntos en los que nuestros esfuerzos de modelado pueden salir mal, lo que hace que los resultados de nuestros modelos difieran de lo que realmente observamos en el mundo real .

Si bien en muchos casos, los desajustes entre el modelo y la realidad se remontan a errores cometidos durante el proceso, también pueden deberse al hecho de que nuestro modelo fue exitoso y resultó en la adopción de medidas apropiadas para evitar los escenarios indeseables que predijo . Esto es especialmente cierto en el caso de modelos altamente visibles que se utilizan para guiar las decisiones e intervenciones gubernamentales, como en el caso de una pandemia en curso como la que estamos viviendo ahora:

“La función más importante de los modelos epidemiológicos es la simulación, una forma de ver nuestro futuro potencial con anticipación y cómo interactúa con las elecciones que hacemos hoy. Con los modelos COVID-19, tenemos un objetivo simple y urgente: ignorar todas las ramas optimistas y ese tronco grueso en el medio que representa los resultados más probables. En cambio, debemos centrarnos en las ramas que representan los peores resultados y podarlas con todas nuestras fuerzas. El aislamiento social reduce la transmisión y ralentiza la propagación de la enfermedad. Al hacerlo, corta ramas que representan algunos de los peores futuros. El rastreo de contactos atrapa a las personas antes de que infecten a otros, podando más ramas que representan catástrofes no controladas ". - Zeynep Tufecki, The Atlantic

Es este tipo de malentendido lo que lleva a la desconfianza pública en los modelos científicos en particular y en la Ciencia en general.


Espero que esto (y muchas otras publicaciones) pueda ayudar al público en general a comprender las suposiciones, el poder y las limitaciones subyacentes de los modelos científicos y cómo se les puede dar un buen uso.

Modelo Susceptible-Infeccioso-Recuperado (SIR)

Ahora que hemos establecido las ventajas y limitaciones de usar modelos para comprender el mundo, podemos comenzar a explorar cómo mejorar los modelos simples que presentamos en la publicación anterior.

Modelo SIR

El modelo SIR es uno de los modelos epidémicos más simples y conocidos. Su popularidad se debe, en gran parte, a su capacidad para establecer un equilibrio perfecto entre simplicidad y utilidad. Todavía es relativamente susceptible de exploración matemática y analítica, mientras que al mismo tiempo es capaz de capturar las características fundamentales del proceso epidémico: las personas sanas (susceptibles) se infectan cuando entran en contacto con individuos infecciosos solo para finalmente recuperarse después de un cierto período de tiempo El proceso se ilustra esquemáticamente en la figura en la parte superior de esta sección.

Este modelo se puede escribir matemáticamente usando un conjunto simple de ecuaciones diferenciales parciales:

Modelo Susceptible-Infeccioso-Recuperado

Que se puede integrar numéricamente para obtener los valores de cada compartimento en función del tiempo, tal como se hizo en la publicación de blog anterior:


Fracción de la población en cada compartimento en función del tiempo.

Si bien este tipo de ecuaciones puede ser útil para explorar resultados analíticos para modelos simples como el modelo SIR, rápidamente se vuelven difíciles de manejar para modelos más complejos. Sin embargo, es fácil notar cómo tienen una correspondencia biunívoca con la ilustración de arriba:

• Las interacciones corresponden a términos que involucran dos compartimentos y el número total de individuos en la población:

Término de interacción

• Si bien las transiciones espontáneas corresponden a términos que involucran un solo compartimento:

Término espontáneo

• El signo de cada término está determinado por si la ecuación que estamos considerando corresponde a los compartimentos "fuente" u "objetivo". En particular, los compartimentos de "agente" no se ven afectados a menos que también sean "objetivos".

Esta correspondencia uno a uno entre las transiciones y los términos nos permite simplemente "elaborar" modelos arbitrariamente complejos que pueden implementarse trivialmente usando código genérico (como el de EpiModel.py) sin tener que escribir y depurar todas las reglas " a mano ".

En el resto de la discusión, nos centraremos en discutir los supuestos y detalles de los diversos modelos, evitando en la medida de lo posible el uso de expresiones matemáticas complejas.

Período de incubación

Una de las principales limitaciones del modelo SIR es el hecho de que la infección se desarrolla instantáneamente sin ningún período de incubación. Recordará por noticias recientes que este no es un escenario muy realista y que la incubación o el período latente es uno de los factores más importantes que deben entenderse para contener una epidemia: durante cuánto tiempo debe mantenerse bajo vigilancia un caso sospechoso hasta que podamos estar seguros de que la persona no se infectará?

Podemos abordar esta limitación agregando un paso adicional (compartimento) a nuestro modelo epidémico: el compartimento expuesto (o latente). Cuando una persona susceptible entra en contacto con una persona infecciosa, él / ella se traslada a la zona expuesta, desde la cual pasa al compartimento infeccioso a una velocidad fija ε. Mientras que en el compartimento expuesto se dice que la persona está "incubando" la enfermedad, posiblemente incluso comienza a desarrollar síntomas, pero aún no puede infectar a otras personas. El modelo resultante se conoce como el modelo Susceptible-Expuesto-Infeccioso-Recuperado (SEIR):



Modelo SEIR

Aquí tenemos 4 compartimentos distintos conectados por una transición interactiva y dos espontáneas:

Transiciones SEIR

Y la evolución de los diversos compartimentos es simplemente:



Aquí destacamos que la adición del compartimento adicional no modificó el número total de personas que se infectaron, pero tiene un fuerte impacto en la evolución temporal de la epidemia, retrasando significativamente y ampliando el pico de casos infecciosos. Efectivamente "aplana" la curva:


Comparación de picos epidémicos entre los modelos SIR y SEIR.

Debe quedar claro cómo esto tiene un impacto directo en la probabilidad de que el sistema de salud se vea abrumado y la duración necesaria de cualquier medida de cuarentena impuesta: un pico más bajo reduce el estrés en el sistema de salud, mientras que una duración más larga implica un período social más prolongado. El distanciamiento es necesario.

Inmunidad Temporal

Otra suposición fundamental que subyace en el modelo SIR es la idea de que las personas recuperadas son inmunes permanentemente a la enfermedad. Si bien este es el caso con muchas enfermedades comunes, ha habido algunos informes de pacientes con CoVID-19 reinfectados después de la recuperación.

La reinfección en un período de tiempo tan corto es poco probable (incluso la inmunidad temporal generalmente dura unos pocos meses o años) y es más probable que estos casos se deban a pruebas defectuosas, pero ciertamente es una posibilidad que debe considerarse.

Simplemente agregando una transición espontánea desde el compartimento Recuperado de regreso al compartimento Susceptible, obtenemos los SEIRS (¿puedes adivinar qué significan las letras? 😀):


Modelo SEIRS

Esta adición aparentemente inocua al modelo tiene un efecto muy importante. Al permitir que los individuos recuperados se vuelvan susceptibles una vez más, reponemos al grupo de personas que una vez más pueden infectarse. El resultado final es que la epidemia nunca se agota (su combustible nunca se agota) y la enfermedad se vuelve endémica, ¡y una fracción constante de la población permanece infectada!



Estado final endémico del modelo SEIRS

La tasa ρ a la que se pierde la inmunidad tiene un efecto determinante en el progreso de la epidemia y el aumento de la endemicidad. Si ρ es suficientemente pequeño (la inmunidad es más duradera), incluso podemos tener varios picos epidémicos antes de alcanzar el estado estable de una fracción fija de la población.



Población expuesta e infecciosa en el modelo SEIRS

La aparición del pico se debe al hecho de que la inmunidad temporal que brinda la enfermedad es lo suficientemente larga como para permitir que la epidemia siga la mayor parte de su curso antes de que el número de Susceptibles comience a aumentar nuevamente, agregando combustible al fuego.
 

Casos asintomáticos

En muchas enfermedades, una fracción significativa de individuos infectados permanece asintomática durante el curso de la enfermedad. En el caso de la influenza estacional, este número generalmente es de alrededor del 33%, mientras que para CoVID19 se cree que el número es del 40% o más, lo que sesga significativamente el número total de casos.

Los individuos asintomáticos a menudo son menos infecciosos que aquellos que presentan síntomas en alguna fracción rᵦ. Podemos modelar su efecto dividiendo el compartimento infeccioso en dos: un sintomático, Is, y un asintomático, Ia. Una fracción pₐ de todos los expuestos se vuelve asintomática mientras que el resto (1-pₐ) desarrolla síntomas. Nuestro modelo es entonces:





Como ahora tenemos dos compartimentos infecciosos, también debemos rehacer nuestro cálculo de Rₒ. Afortunadamente, la modificación es simple: dado que hemos dividido el compartimento infeccioso original en dos, nuestro valor de β es simplemente el promedio ponderado del original y el β reducido.

Podemos verificar fácilmente que si rᵦ es 1 recuperamos el valor SIR original, mientras que si rᵦ es 0 (el asintomático y completamente no infeccioso) reducimos el Rₒ original en un factor de (1-pₐ) ya que efectivamente tenemos mucho población infecciosa más pequeña.

Para mantener el mismo valor de Rₒ simplemente calculamos el valor de β como:

Este enfoque facilita la comparación de los resultados de ambos modelos, ya que ambos tienen el mismo valor de Rₒ.

A medida que agregamos más y más compartimentos a nuestros modelos, la población de cada compartimento individual se hace más pequeña.


Estructura compartimental del modelo sintomático / asintomático

Podemos verificar fácilmente que el valor de Rₒ sigue siendo el mismo que antes observando las curvas recuperadas y susceptibles al final de la epidemia. Por otro lado, ahora tenemos 3 compartimentos infectados distintos, 2 de los cuales son infecciosos y pico al mismo tiempo y unos días después de la población expuesta:


Comparación de picos entre los tres compartimentos infectados

Aquí debemos tener en cuenta que decidimos explícitamente mantener la tasa de recuperación, μ para individuos sintomáticos y asintomáticos. Si los hubiéramos elegido para ser diferentes, los picos ocurrirían en diferentes momentos y la expresión para Rₒ tendría que revisarse aún más.

Tasa de mortalidad

Finalmente, observamos el efecto de considerar explícitamente la mortalidad. Suponemos que solo los casos sintomáticos mueren por la enfermedad o, de manera similar, que cualquier individuo asintomático que muera por la enfermedad no se cuenta como tal. Si suponemos que una fracción pd de casos sintomáticos termina muriendo, nuestro modelo se convierte en:



Por lo tanto, ahora tenemos 6 compartimentos y un total de 7 transiciones y 6 parámetros, que indican cómo cuantos más detalles incluimos, más complejo se vuelve el modelo y se deben especificar más parámetros. En los primeros días de una epidemia, la mayoría, si no todos, de estos parámetros son parcial o completamente desconocidos. A medida que avanza la epidemia, se recopila cada vez más información y se pueden utilizar modelos más detallados. Este refinamiento constante también ayuda a mejorar la confiabilidad de los escenarios que podemos analizar y las decisiones tomadas.

Si suponemos que el 10% de los casos sintomáticos finalmente mueren, tenemos:



Cabe señalar que la tasa de mortalidad del 10% es enorme y poco realista para el tipo de enfermedades que estamos considerando. La razón por la que elegimos un número tan grande es para hacer que los efectos sean obvios al trazar.

Al incluir la posibilidad de muerte, el número de individuos recuperados se reduce naturalmente, a pesar de que ninguno de los parámetros de la enfermedad ha cambiado. Si nos centramos solo en la relación entre los compartimientos más significativos que tenemos:



El número total de muertos se puede estimar fácilmente. Sabemos que para nuestro conjunto de parámetros, el 80% de la población finalmente se infecta. De ellos, el 60% son sintomáticos y de ellos, el 10% finalmente muere, por lo que esperamos que el número total de casos fatales sea del 4,8%, como se muestra en la gráfica anterior.

Este valor es significativamente menor que la tasa de mortalidad real para los casos sintomáticos. Esto se debe al hecho de que el número de casos recuperados se infla por los casos asintomáticos más leves.