Centralidad en redes de dos modos

Centralidad de nodo en redes de dos modos

Tore Opsahl

La centralidad de los nodos, o la identificación de qué nodos son más "centrales" que otros, ha sido un tema clave en el análisis de redes (Freeman, 1978). Freeman (1978) argumentó que los nodos centrales eran aquellos "en el meollo de las cosas" o puntos focales. Con base en este concepto, formalizó tres medidas: grado, cercanía y entrecruzamiento. Para obtener una información más completa sobre estas medidas, vea Centralidad de nodos en Redes ponderadas.

Grado

Grado es el número de vínculos que tiene un nodo o el número de otros nodos a los que está conectado un nodo. En redes de dos modos, este concepto se puede aplicar directamente. Sin embargo, hay algunas complicaciones. En redes de dos modos, "la cantidad de otros nodos a los que está conectado un nodo" es ambigua. Podría ser el número de nodos secundarios a los que está conectado un nodo primario (y viceversa), o el número de nodos primarios a los que está conectado un nodo primario. Para aclarar la diferencia entre estos dos números, me referí a ellos como nodos de dos modos y un modo, respectivamente. Para ejemplificar la diferencia, la imagen a continuación muestra la red local que rodea a Flora en el Dataset de mujeres sureñas de Davis (1940) (adaptado de Opsahl, 2011).





La red local que rodea a Flora
Como se puede ver en este diagrama, el grado de dos modos de Flora es 2 y el grado de 1 modo es 12. Si la red se proyectó a una red de modo único, la medida de grado estándar sería 12.

También es posible obtener el grado de dos modos de los nodos una vez que se ha proyectado una red utilizando el método de Newman (2001). Este método de proyección fue desarrollado para las redes de coautoría científica, y establece el peso del empate entre dos autores igual a la suma en los trabajos co-autoescritos de 1 sobre el número de autores en ese documento menos 1. En otras palabras, para cada coautoría papel, un nodo divide 1 por los otros autores. Como tal, el peso total del empate es igual al número de documentos coautores. La única diferencia entre este método y el grado de dos modos son los trabajos de autor único. Estos están excluidos en el primero e incluidos en el segundo método.

Cercanía e intermediación

La parte principal de las medidas de proximidad y de interdependencia son los caminos más cortos y su longitud. La cercanía es la suma inversa de las longitudes de las trayectorias más cortas, y la interdependencia es la cantidad de trayectos más cortos que pasan por un nodo. Al aprovechar el algoritmo de ruta más corta de dos modos, es posible ampliar fácilmente estas dos medidas a redes de dos modos. Para recapitular rápidamente este algoritmo: 

1. Use un método de proyección apropiado 
2. Utilice el método para identificar las rutas más cortas y calcular su longitud en redes ponderadas de modo único (Brandes, 2001; Dijkstra, 1959; Newman, 2001).

Cuando se encuentre la longitud de las rutas más cortas, la medida de proximidad sería simplemente la suma inversa de ellas. Del mismo modo, la interdependencia se calculará fácilmente mirando los nodos intermedios en las rutas más cortas y contará, para cada nodo, la cantidad de veces que ese nodo es un intermediario. Nota: si hay varias rutas más cortas, es importante dividir por el número de ellas para asegurarse de que cada ruta solo cuente una vez.

Ejemplo

Para ilustrar las cuatro medidas, confío en Davis (1940) Southern Women Dataset. La asistencia a la reunión de 18 mujeres en 14 reuniones se registra en este conjunto de datos. La siguiente tabla muestra el resultado de las cuatro medidas (Newman's, 2001, el método de proyección se utiliza para la cercanía y la interdependencia, ya que es probable que el nivel de interacción entre los participantes en eventos más pequeños sea mayor).

.

nodo	two-mode degree	one-mode degree	closeness	betweenness
EVELYN	8	17	0.053	5
LAURA	7	15	0.051	1
THERESA	8	17	0.060	48
BRENDA	7	15	0.050	1
CHARLOTTE	4	11	0.044	0
FRANCES	4	15	0.041	0
ELEANOR	4	15	0.043	0
PEARL	3	16	0.037	0
RUTH	4	17	0.043	0
VERNE	4	17	0.045	0
MYRNA	4	16	0.042	0
KATHERINE	6	16	0.052	0
SYLVIA	7	17	0.054	11
NORA	8	17	0.059	60
HELEN	5	17	0.046	0
DOROTHY	2	16	0.027	0
OLIVIA	2	12	0.035	0
FLORA	2	12	0.035	0

En esta tabla se puede ver una limitación clave de la medida de transición: la mayoría de las personas obtiene un puntaje de 0 (es decir, la medida es cero-inflado). Las correlaciones por pares entre las medidas se informan a continuación. Si bien todas las medidas tienen altas correlaciones, es interesante observar que la medida de grado de dos modos tiene una mayor correlación con la cercanía y la interdependencia que la medida de grado de modo único. Esto podría sugerir que la medida de grado de dos modos computacionalmente barata es más capaz de replicar las medidas de proximidad y de equilibrio computacionalmente costosas.

	1	2	3	4
1: two-mode degree	1.00
2: one-mode degree	0.51	1.00
3: closeness	0.95	0.44	1.00
4: betweenness	0.59	0.34	0.64	1.00

¿Quieres probarlo con tus datos?

Las medidas se pueden calcular utilizando tnet. Primero, necesita descargar e instalar tnet en R. Luego, necesita crear un edgelist de su red (vea las estructuras de datos en tnet para redes de dos modos). Los siguientes comandos muestran cómo se crearon las tablas anteriores.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

# Load tnet and the Southern Women Dataset library(tnet) data(tnet) net <- Davis.Southern.women.2mode   # Calculate two-mode degree out <- degree_tm(net, measure="degree")   # Create one-mode projection net1 <- projecting_tm(net, "Newman")   # Calculate one-mode degree tmp <- degree_w(net1)[,"degree"]   # Append to table out <- data.frame(out, onemodedegree=tmp)   # Calculate closeness and append to table tmp <- closeness_w(net1 )[,"closeness"] out <- data.frame(out, closeness=tmp)   # Calculate betweenness and append to table tmp <- betweenness_w(net1 )[,"betweenness"] out <- data.frame(out, betweenness=tmp)   # Download and set names out[,"node"] <- read.table("http://opsahl.co.uk/tnet/ datasets/Davis_southern_club_women-name.txt")   # Pair-wise correlation table tmp <- matrix(nrow=4, ncol=4) tmp[lower.tri(tmp)] <- apply(which(lower.tri(tmp), arr.ind=TRUE)+1, 1, function(a) cor.test(out[,a[1]], out[,a[2]])$estimate)

Referencias

Brandes, U., 2001. A Faster Algorithm for Betweenness Centrality. Journal of Mathematical Sociology 25, 163-177.
Davis, A., Gardner, B. B., Gardner, M. R., 1941. Deep South. University of Chicago Press, Chicago, IL.
Dijkstra, E. W., 1959. A note on two problems in connexion with graphs. Numerische Mathematik 1, 269-271.
Freeman, L. C., 1978. Centrality in social networks: Conceptual clarification. Social Networks 1, 215-239.
Newman, M. E. J., 2001. Scientific collaboration networks. II. Shortest paths, weighted networks, and centrality. Physical Review E 64, 016132.
Opsahl, T., 2013. Triadic closure in two-mode networks: Redefining the global and local clustering coefficients. Social Networks 35, doi:10.1016/j.socnet.2011.07.001.
Opsahl, T., Agneessens, F., Skvoretz, J., 2010. Node centrality in weighted networks: Generalizing degree and shortest paths. Social Networks 32 (3), 245-251.